Cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{-3}$ và mặt phẳng $(P):x-2y-2z-3=0$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng nằm trên mặt phẳng $(P)$ và vuông góc với đường thẳng $d$

(AI giải đề cho tôi)
$d$ có VTCP ${\vec{u}}_d=(1;2;-3)$, $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(1;-2;-2)$.
a) $(-1;-2;3)=-{\vec{u}}_d$ cùng phương với VTCP của $d$ → đúng.
b) Tham số hóa $d$: $(2+t;-2+2t;1-3t)$, thay vào $(P)$: $(2+t)-2(-2+2t)-2(1-3t)-3=1+3t=0\Rightarrow t=-\frac{1}{3}$, giao điểm $\left(\frac{5}{3};-\frac{8}{3};2\right)$ → đúng.
c) $(10;1;4)$ không cùng phương với $(1;2;-3)$ nên không phải VTCP của $d$; thực tế nó là VTCP của $\Delta$ → sai.
d) VTCP của $\Delta$: $\vec{u}={\vec{u}}_d\times \vec{n}=(2\cdot (-2)-(-3)(-2);(-3)(1)-1\cdot (-2);1\cdot (-2)-2\cdot 1)=(-10;-1;-4)$, cùng phương $(10;1;4)$. Kiểm tra: $\vec{u}\cdot {\vec{u}}_d=10+2-12=0$, $\vec{u}\cdot \vec{n}=10-2-8=0$. Điểm $(3;0;0)$ thuộc $(P)$ vì $3-0-0-3=0$. Vậy $\frac{x-3}{10}=\frac{y}{1}=\frac{z}{4}$ là phương trình của một đường $\Delta$ hợp lệ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $(-1;-2;3)=-{\vec{u}}_d$ cùng phương với VTCP $(1;2;-3)$ của $d$ → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $(2+t;-2+2t;1-3t)$ thay vào $(P)$: $1+3t=0\Rightarrow t=-\frac{1}{3}$, giao điểm $\left(\frac{5}{3};-\frac{8}{3};2\right)$ → đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $(10;1;4)$ không cùng phương với $(1;2;-3)$; nó là VTCP của $\Delta$ chứ không phải của $d$ → sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $(10;1;4)$ vuông góc ${\vec{u}}_d$ ($10+2-12=0$) và nằm trong $(P)$ ($10-2-8=0$); điểm $(3;0;0)$ thuộc $(P)$ → đúng.