Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với $Ox$ tại điểm $x$ $(1\le x\le 4)$ cắt một vật thể có dạng tam giác đều cạnh bằng $x$. Thể tích của vật thể đó bằng bao nhiêu?

Một bình chứa nước có hình dạng như hình sau. Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao $x$ (dm) $(0\le x\le 4)$ thì mặt nước là hình vuông có cạnh $\sqrt{2+\frac{x^2}{4}}$ (dm). Tính dung tích của bình.

Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$, $\left(-\sqrt{3}\le x\le \sqrt{3}\right)$, mặt cắt là hình vuông có độ dài các cạnh là $\sqrt{3-x^2}$. Thể tích của vật thể đã cho bằng

Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X xây dựng một cây cầu bằng bê tông có kích thước như trong hình vẽ dưới đây, các đường cong trong hình vẽ là các parabol. Tính thể tích của bê tông để đổ đủ cây cầu. Viết kết quả theo đơn vị mét khối.

Một bể bơi ban đầu có dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Sau đó người ta làm lại mặt đáy như hình vẽ.

Biết rằng $A^{\prime }{B}^{\prime }MN$ và $MNEF$ là các hình chữ nhật, $(MNFE)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, $AB=10$ m, $AD=30$ m, $A{A}^{\prime }=2$ m, $MF=20$ m, $DE=1,7$ m. Tính tỉ số thể tích của bể sau khi làm lại mặt đáy với thể tích của bể lúc ban đầu. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=1$ và $x=3$, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(1\le x\le 3)$ thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $2x$ và $(5-x)$.

Một cái trống trượng có bán kính các đáy là 20 (cm), thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy là một hình tròn có diện tích là $900\pi$ (cm²), chiều dài của trống là 1 (m). Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt phẳng xung quanh của trống là các đường parabol. Thể tích của cái trống bằng bao nhiêu mét khối (kết quả cuối cùng làm tròn đến hàng phần trăm)?