Cho dãy số $(u_n)$: $1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};...;{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1};...$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho dãy số $(a_n)$: $\{\begin{array}{l}{a}_1=2026\\ n{a}_n=a_{n-1}+1,\forall n\ge 2\end{array}$. Xác định giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương $k$ sao cho $2026a_k<1$.

Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi: $x_0=0,x_1=1$ và $x_{n+2}=5x_{n+1}-x_n,\forall n\in \mathbb{N}$.

a) Chứng minh rằng biểu thức $\frac{x_{2n}}{x_n}$ là một số nguyên với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $21x_n^2+4$ là một số chính phương với mọi số tự nhiên $n$.

b) Tìm tất cả các số nguyên $n\ge 0$ sao cho biểu thức $B_n=21x_n^2+3$ là một số nguyên tố.

Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số tăng?

Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n=2^n+1$. Giá trị $u_5$ là

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1:

a) Dãy số $(u_n)$ với $u_n=8+\frac{3}{n}$ là một dãy số giảm.

b) Dãy số $(u_n)$ với $u_n=8+\frac{3}{n}$ có giới hạn bằng 11 khi $n$ dần tới dương vô cực.

c) Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=21$, $u_8=7$ thì số hàng thứ mười sáu là $u_{16}=-9$.

d) Cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1\ne 0$ và công bội $q>1$ thì cấp số nhân đó là một dãy số tăng.

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_1=3$ và $u_n-u_{n-1}=2n-3$ với mọi $n\ge 2$. Tìm giá trị $\frac{u_{1000}}{109}$.