Trong các dãy số $(u_n)$ cho bởi số hàng tổng quát $u_n$ sau, dãy số nào bị chặn?

Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số tăng?

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1:

a) Dãy số $(u_n)$ với $u_n=8+\frac{3}{n}$ là một dãy số giảm.

b) Dãy số $(u_n)$ với $u_n=8+\frac{3}{n}$ có giới hạn bằng 11 khi $n$ dần tới dương vô cực.

c) Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=21$, $u_8=7$ thì số hàng thứ mười sáu là $u_{16}=-9$.

d) Cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1\ne 0$ và công bội $q>1$ thì cấp số nhân đó là một dãy số tăng.

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=9$ và $u_{n+1}=\frac{u_n^2+1}{2},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Chứng minh $(u_n)$ là một dãy số tăng.

b) Xét dãy số $(v_n)$ xác định bởi $v_n=\frac{1}{u_1+1}+\frac{1}{u_2+1}+\dots +\frac{1}{u_n+1}$ với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh dãy số $(v_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=\frac{1}{2},a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Chứng minh $(a_n)$ là dãy số giảm.

b) Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $b_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$. Tính $\lim b_n$.

Cho dãy số $(u_n)$ với
$$u_n=\frac{n}{n+1}$$
Chứng minh $(u_n)$ tăng và bị chặn.

Xét tính tăng giảm của dãy số $(u_n)$ biết $u_n=1-3n$?