Câu 23HSGChuyên đề: Đếm có điều kiện kề nhau hoặc loại trừ • Lớp 10Tổ hợp không thứ tựQuy tắc cộng và nhân trong đếmVận dụng cao#secondary:M10.A08.COUNTING.L3.COMBINATION#secondary:M10.A08.COUNTING.L3.SUM_PRODUCT
Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm .
Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm .
Các mệnh đề Đúng / Sai:
a)
Số cách lấy 4 đỉnh trong 20 đỉnh mà 4 đỉnh lấy được tạo thành một tứ giác có 2 góc ở 2 đỉnh kề nhau là 2 góc tù bằng 480.
b)
Số đường chéo của đa giác là 170.
c)
Số cách lấy 4 đỉnh trong 20 đỉnh mà 4 đỉnh lấy được tạo thành một tứ giác có đúng hai góc vuông là 1530.
d)
Số cách lấy 3 đỉnh trong 20 đỉnh để 3 đỉnh lấy được tạo thành một tam giác là 6840.
Đáp án chính thức: a:S,b:Đ,c:S,d:S
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O, cung giữa hai đỉnh kề nhau là 18°. Xét 4 đỉnh theo thứ tự, gọi a,b,c,d là số cung 18° giữa các đỉnh liên tiếp (a+b+c+d=20, các số nguyên dương). Góc nội tiếp bằng nửa cung bị chặn không chứa đỉnh.
a) Góc ở đỉnh thứ hai tù ⟺ a+b ≤ 9; góc ở đỉnh thứ ba tù ⟺ b+c ≤ 9. Vì tứ giác nội tiếp có hai góc đối bù 180° nên hai góc tù phải kề nhau và mỗi tứ giác có đúng một cặp góc tù kề nhau. Đếm: với mỗi b=1..8, a,c ≤ 9-b nên số cách là (9-b)², tổng Σ_{b=1}^{8}(9-b)² = 1²+...+8² = 204 ≠ 480 → Sai.
b) Số đường chéo = 20·17/2 = 170 → Đúng.
c) Góc vuông ⟺ cung bị chặn đúng 10 đơn vị (180°). Hai góc vuông kề nhau sẽ kéo theo góc thứ ba cũng vuông (vì tổng hai cung tương ứng cũng bằng 10), nên phải là hai góc vuông đối nhau. Trường hợp góc ở đỉnh 2 và 4 vuông: a+b=10, c+d=10, có 9·9=81 cách, loại 9 cách tạo thành hình chữ nhật (4 góc vuông) còn 72; tương tự trường hợp góc ở đỉnh 1 và 3 vuông có 72 cách. Tổng 144 ≠ 1530 → Sai.
d) Số tam giác = C(20,3) = 1140 ≠ 6840 → Sai.
Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai, khớp bảng đáp án mã đề 0101 dòng 23 (S Đ S S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đếm chính xác được 204 cách (với mỗi b=1..8 có (9-b)² cách), không phải 480.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số đường chéo của đa giác n đỉnh là n(n-3)/2 = 20·17/2 = 170.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai góc vuông phải đối nhau; đếm được 72+72 = 144 cách, không phải 1530.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số tam giác là C(20,3) = 1140, không phải 6840.
Đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O, cung giữa hai đỉnh kề nhau là 18°. Xét 4 đỉnh theo thứ tự, gọi a,b,c,d là số cung 18° giữa các đỉnh liên tiếp (a+b+c+d=20, các số nguyên dương). Góc nội tiếp bằng nửa cung bị chặn không chứa đỉnh.
a) Góc ở đỉnh thứ hai tù ⟺ a+b ≤ 9; góc ở đỉnh thứ ba tù ⟺ b+c ≤ 9. Vì tứ giác nội tiếp có hai góc đối bù 180° nên hai góc tù phải kề nhau và mỗi tứ giác có đúng một cặp góc tù kề nhau. Đếm: với mỗi b=1..8, a,c ≤ 9-b nên số cách là (9-b)², tổng Σ_{b=1}^{8}(9-b)² = 1²+...+8² = 204 ≠ 480 → Sai.
b) Số đường chéo = 20·17/2 = 170 → Đúng.
c) Góc vuông ⟺ cung bị chặn đúng 10 đơn vị (180°). Hai góc vuông kề nhau sẽ kéo theo góc thứ ba cũng vuông (vì tổng hai cung tương ứng cũng bằng 10), nên phải là hai góc vuông đối nhau. Trường hợp góc ở đỉnh 2 và 4 vuông: a+b=10, c+d=10, có 9·9=81 cách, loại 9 cách tạo thành hình chữ nhật (4 góc vuông) còn 72; tương tự trường hợp góc ở đỉnh 1 và 3 vuông có 72 cách. Tổng 144 ≠ 1530 → Sai.
d) Số tam giác = C(20,3) = 1140 ≠ 6840 → Sai.
Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai, khớp bảng đáp án mã đề 0101 dòng 23 (S Đ S S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đếm chính xác được 204 cách (với mỗi b=1..8 có (9-b)² cách), không phải 480.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số đường chéo của đa giác n đỉnh là n(n-3)/2 = 20·17/2 = 170.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai góc vuông phải đối nhau; đếm được 72+72 = 144 cách, không phải 1530.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số tam giác là C(20,3) = 1140, không phải 6840.