Câu 9. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(a;b)$ thỏa mãn:
$$10(a^2+b^2-ab)-{\left[{\log }_3(a+b-1)\right]}^2\ge a^3+b^3-4?$$

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $s=a+b,p=ab$. Khi đó $a^2+b^2-ab=s^2-3p$, $a^3+b^3=s^3-3ps$, và bất đẳng thức trở thành $$10(s^2-3p)-L\ge s^3-3ps-4\iff 3p(s-10)\ge s^2(s-10)-4+L,$$ với $L=[{\log }_3(s-1){]}^2$ (điều kiện $s\ge 2$).

• $s=10$: hai vế cùng chứa thừa số $(s-10)$, bất đẳng thức trở thành $0\ge -4+L$ với $L=[{\log }_{3}9{]}^2=4$, tức $0\ge 0$: đúng với mọi cặp có $a+b=10$, cho $9$ cặp $(1;9),\dots ,(9;1)$. (Lưu ý: không được chia cho $s-10=0$.)

• $s\ge 11$: $s-10>0$ và $p\le s^2/4$, nên cần $\frac{3s^2(s-10)}{4}\ge s^2(s-10)-4+L\iff -\frac{s^2(s-10)}{4}\ge L-4$. Vì ${\log }_{3}10>2$ nên $L-4>0$, vô lý → vô nghiệm.

• $2\le s\le 9$: chia cho $s-10<0$ (đổi chiều): $$p\le \frac{s^2+(4-L)/(10-s)}{3}.$$ Kiểm tra từng $s$ (số cặp có thứ tự với $p\le s^2/4$):
$s=2$: $L=0$, $p\le 1,5$ → 1 cặp; $s=3$: $L\approx 0,63$, $p\le 3,16$ → 2 cặp; $s=4$: $L=1$, $p\le 5,5$ → 3 cặp; $s=5$: $L\approx 1,59$, $p\le 8,49$ → 4 cặp (max $p=6$); $s=6$: $L\approx 2,15$, $p\le 12,15$ → 5 cặp (max $p=9$); $s=7$: $L\approx 2,66$, $p\le 16,48$ → 6 cặp (max $p=12$); $s=8$: $L\approx 3,14$, $p\le 21,48$ → 7 cặp (max $p=16$); $s=9$: $L\approx 3,58$, $p\le 27,14$ → 8 cặp (max $p=20$).

Tổng: $1+2+\cdots +9=45$ cặp.