Câu 8THPTChuyên đề: Phương trình tâm và bán kính mặt cầu • Lớp 12Tọa độ điểm và chia đoạn OxyzTích vô hướng độ dài góc OxyzVận dụng cao#secondary:M12.G01.VECTOR_3D.L3.COORDINATES#secondary:M12.G01.VECTOR_3D.L3.DOT_PRODUCT
Câu 8. Trong không gian , cho hai điểm , và mặt cầu có phương trình . Biết điểm thỏa mãn lớn nhất. Tính .
Câu 8. Trong không gian , cho hai điểm , và mặt cầu có phương trình . Biết điểm thỏa mãn lớn nhất. Tính .
Đáp án chính thức: 8
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;0), R=3. Gọi J là trung điểm AB: J(−1;4;4). Theo đẳng thức hình bình hành: MA²+MB² = 2(MJ²+AJ²), nên MA+MB ≤ √(2(MA²+MB²)) = 2√(MJ²+AJ²), dấu bằng khi MA=MB. Vì A,B ngoài mặt cầu, MJ lớn nhất bằng IJ+R khi M nằm trên đường thẳng IJ, phía đối diện J qua I. IJ = √(4+16+16)=6, nên max MJ = 9, khi đó M = I − (R/IJ)(J−I) = (1;0;0) − 0,5(−2;4;4) = (2;−2;−2). Kiểm tra: M∈(S) vì (2−1)²+4+4=9 ✓; MA=√(1+49+49)=√99, MB=√(49+25+25)=√99, tức MA=MB ✓ nên dấu bằng xảy ra, MA+MB = 2√(81+18)=6√11 lớn nhất. Vậy a=2, b=−2, c=−2, abc = 2·(−2)·(−2) = 8.
Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;0), R=3. Gọi J là trung điểm AB: J(−1;4;4). Theo đẳng thức hình bình hành: MA²+MB² = 2(MJ²+AJ²), nên MA+MB ≤ √(2(MA²+MB²)) = 2√(MJ²+AJ²), dấu bằng khi MA=MB. Vì A,B ngoài mặt cầu, MJ lớn nhất bằng IJ+R khi M nằm trên đường thẳng IJ, phía đối diện J qua I. IJ = √(4+16+16)=6, nên max MJ = 9, khi đó M = I − (R/IJ)(J−I) = (1;0;0) − 0,5(−2;4;4) = (2;−2;−2). Kiểm tra: M∈(S) vì (2−1)²+4+4=9 ✓; MA=√(1+49+49)=√99, MB=√(49+25+25)=√99, tức MA=MB ✓ nên dấu bằng xảy ra, MA+MB = 2√(81+18)=6√11 lớn nhất. Vậy a=2, b=−2, c=−2, abc = 2·(−2)·(−2) = 8.