Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.

Đội thanh niên tình nguyện của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp $A$, 4 học sinh lớp $B$ và 3 học sinh lớp $C$. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá hai trong ba lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

Đội thanh niên tình nguyện của một trường phổ thông có 13 học sinh, gồm 6 học sinh lớp $A$, 4 học sinh lớp $B$ và 3 học sinh lớp $C$. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá hai trong ba lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

Một nhóm 10 học sinh gồm 6 nam và 4 nữ.
a) Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên vào 10 ghế trên một hàng ngang sao cho giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam.
b) Trong 6 học sinh nam có bạn Quang và trong 4 học sinh nữ có bạn Huyền. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh vào 10 ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học. Tính xác suất để xếp được giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền.

Một nhóm 10 học sinh gồm 6 nam và 4 nữ.
a) Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên vào 10 ghế trên một hàng ngang sao cho giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam.
b) Trong 6 học sinh nam có bạn Quang và trong 4 học sinh nữ có bạn Huyền. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh vào 10 ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học. Tính xác suất để xếp được giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền.

Cho số nguyên dương $n$. Hai bạn $A$ và $B$ cùng tham gia một trò chơi gồm $n$ lượt. Mỗi lượt, họ độc lập giải cùng một câu đố và kết quả là mỗi người chơi hoặc giải được hoặc không giải được. Đặt $c_A(i)$, $c_B(i)$ lần lượt là tổng số câu đố mà $A$, $B$ giải được trong $i$ lượt đầu tiên. Hỏi có bao nhiêu kịch bản có thể xảy ra để $A$ đạt giải đặc biệt, nghĩa là sau khi kết thúc toàn bộ $n$ lượt chơi, $A$ không chỉ giữ được nhiều câu đố hơn $B$ $(c_A(n)>c_B(n))$, mà còn chưa bao giờ để $B$ bỏ xa quá một câu trong suốt quá trình $(\forall i=1,2,\dots ,n:c_B(i)-c_A(i)\le 1)$?

Số các số tự nhiên trong khoảng từ 3000 đến 4000, chia hết cho 5, các chữ số đôi một khác nhau, được tạo thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 là: