Cho đa giác đều 36 đỉnh $A_1{A}_2...A_{36}$ nội tiếp đường tròn $\left(O;\sqrt{2}\right)$. Chọn ba điểm bất kì từ 36 đỉnh của đa giác đều trên. Có bao nhiêu cách chọn để ba điểm đó là ba đỉnh của một tam giác vuông có diện tích bằng một số nguyên?

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông nội tiếp đường tròn $(O;\sqrt{2})$ có cạnh huyền là đường kính. Có 18 đường kính nối các cặp đỉnh $A_i{A}_{i+18}$. Với mỗi đường kính, gọi $\theta$ là góc ở tâm giữa đỉnh góc vuông và một đầu mút của đường kính; $\theta$ là bội của $10^{\circ }$, $0^{\circ }<\theta <360^{\circ }$, $\theta \ne 180^{\circ }$. Hai cạnh góc vuông có độ dài $2\sqrt{2}\sin \frac{\theta }{2}$ và $2\sqrt{2}\left|\cos \frac{\theta }{2}\right|$, nên diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 8\left|\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}\right|=2|\sin \theta |$.

Cần $2|\sin \theta |$ là số nguyên, tức $|\sin \theta |\in \left\{\frac{1}{2},1\right\}$ (loại $|\sin \theta |=0$ vì tam giác suy biến). Xét cả hai nửa mặt phẳng của đường kính ($\theta \in (0^{\circ },360^{\circ })$, $\theta \ne 180^{\circ }$):
- $|\sin \theta |=\frac{1}{2}\Rightarrow \theta \in \{30^{\circ },150^{\circ },210^{\circ },330^{\circ }\}$ (diện tích bằng 1);
- $|\sin \theta |=1\Rightarrow \theta \in \{90^{\circ },270^{\circ }\}$ (diện tích bằng 2).

Vậy mỗi đường kính có đúng 6 vị trí đỉnh góc vuông thỏa mãn (các cặp $\theta$ và $360^{\circ }-\theta$ cho hai tam giác khác nhau, nằm khác phía đối với đường kính). Số cách chọn là $18\times 6=108$.