Bạn Nam tham gia một cuộc thi giải một mật thư. Theo quy tắc của cuộc thi, người chơi cần chọn ra sáu số từ tập $S=\{41;42;43;44;45;46;47;48;49\}$ và xếp mỗi số vào đúng một vị trí trong sáu vị trí $A$, $B$, $C$, $M$, $N$, $P$ như hình vẽ bên sao cho mỗi vị trí chỉ được xếp một số. Mật thư sẽ được giải nếu các bộ ba số xuất hiện ở những bộ ba vị trí $\left(A,M,B\right)$, $\left(B,N,C\right)$, $\left(C,P,A\right)$ tạo thành các cặp số cộng theo thứ tự đó. Bạn Nam chọn ngẫu nhiên sáu số trong tập $S$ và xếp ngẫu nhiên vào các vị trí được yêu cầu. Gọi xác suất để bạn Nam giải được mật thư ở lần chọn và xếp đó là $a$. Giá trị của $\frac{4}{a}$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện mật thư: ba số ở mỗi bộ ba vị trí (A,M,B), (B,N,C), (C,P,A) tạo thành cấp số cộng theo thứ tự đó, tức $A+B=2M$, $B+C=2N$, $C+A=2P$.

Tổng số cách: chọn 6 số từ 9 số của $S$ rồi xếp vào 6 vị trí: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{6}\right)\cdot 6!=84\cdot 720=60480$.

Đếm cách thuận lợi: Gọi $A=x,B=y,C=z$ đôi một khác nhau, khi đó $M=\frac{x+y}{2},N=\frac{y+z}{2},P=\frac{z+x}{2}$ phải là các số nguyên thuộc $S$ và đôi một khác nhau cũng khác $x,y,z$. Điều kiện nguyên đòi hỏi $x,y,z$ cùng tính chẵn lẻ.

• Cả ba lẻ: chọn 3 số từ $\{41,43,45,47,49\}$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=10$ cách. Khi đó các trung bình cộng là số chẵn thuộc $\{42,...,48\}\subset S$, khác $x,y,z$ và đôi một khác nhau. Mỗi bộ cho $3!=6$ cách gán vào $A,B,C$: được $10\cdot 6=60$ cách.

• Cả ba chẵn: từ $\{42,44,46,48\}$, kiểm tra: bộ $\{42,46,48\}$ cho các trung bình $44,47,45$ (hợp lệ); bộ $\{42,44,48\}$ cho $43,46,45$ (hợp lệ); các bộ $\{42,44,46\}$ và $\{44,46,48\}$ bị trung bình trùng với một số đã chọn. Vậy có 2 bộ, mỗi bộ 6 cách gán: $12$ cách.

Tổng cách thuận lợi: $60+12=72$. Vậy $a=\frac{72}{60480}=\frac{1}{840}$, suy ra $\frac{4}{a}=4\cdot 840=3360$.