(1,0 điểm) Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng 2 và $\beta$ là số đo góc nhị diện $[A;CD;B]$. Giá trị của $\cos \beta$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện $ABCD$ đều cạnh 2. Gọi $H$ là trung điểm $CD$, khi đó $AH\perp CD$, $BH\perp CD$ (vì tam giác $ACD$, $BCD$ cân tại $C$, $D$). Suy ra góc nhị diện $[A;CD;B]$ là góc $AHB=\beta$. Tam giác $ACD$ đều cạnh 2 nên $AH=BH=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$. Trong tam giác $AHB$ cân tại $H$ với $AB=2$, đường cao từ $H$ xuống $AB$ có độ dài $\sqrt{A{H}^2-1^2}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$. Do đó $\cos \beta =\frac{A{H}^2+B{H}^2-A{B}^2}{2\cdot AH\cdot BH}=\frac{3+3-4}{2\cdot 3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. Vậy $\cos \beta =\frac{1}{3}$.