(1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AC=2$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=\sqrt{2}$.

a) Tính thể tích của khối chóp $S.ABC$.

b) Tính số đo của góc nhị diện $[A,SC,B]$.

a) Tính thể tích của khối chóp $S.ABC$. (0,25 điểm) Vì $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ có $AC=2\Rightarrow BA=BC=\sqrt{2}$. $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}BA.BC=1$. (0,25 điểm) $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{2}}{3}$.

b) Tính số đo của góc nhị diện $[A,SC,B]$. (0,25 điểm) Gọi $H$ là trung điểm của $AC$. Ta có $\{\begin{array}{l}BH\perp AC\\ BH\perp SA\end{array}\Rightarrow BH\perp SC$ (1). Kẻ $HK\perp SC(K\in SC)$ (2). Từ (1) và (2) suy ra $SC\perp (BHK)\Rightarrow SC\perp BK$ (3). Từ (2) và (3) suy ra góc $\widehat{BKH}$ là một góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $[A,SC,B]$. Ta có (0,25 điểm) $\Delta SAC\sim \Delta HKC\Rightarrow \frac{SA}{HK}=\frac{SC}{HC}\Rightarrow HK=\frac{SA.HC}{SC}=\frac{\sqrt{2}.1}{\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+2^2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Vì $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ có $BH$ là đường trung tuyến nên $BH=\frac{1}{2}AC=1$. Vì $BH\perp (SAC)\Rightarrow BH\perp HK\Rightarrow \tan \widehat{BKH}=\frac{BH}{HK}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{BKH}=60^{\circ }$. Vậy số đo của góc nhị diện $[A,SC,B]$ bằng $60^{\circ }$.