(1,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ đều có cạnh bằng 12. Một điểm $S$ thay đổi trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại điểm $A$ ($A$ khác $S$). Gọi $O$ và $H$ lần lượt là trực tâm tam giác $ABC$ và tam giác $SBC$.

a) Chứng minh $OH$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$.

b) Gọi $\alpha$ là số đo góc tạo bởi đường thẳng $AH$ và mặt phẳng $(ABC)$. Tìm giá trị lớn nhất của $\tan \alpha$.

Một chiếc lều du lịch hình chóp có đáy là lục giác đều và hình chiếu của đỉnh lều trên mặt đất trùng với tâm của lục giác đáy, khung lều làm bằng tre (như hình bên dưới). Biết góc giữa các thanh tre với mặt sàn là $30^{\circ }$; tấm lót sàn hình lục giác đều có diện tích bằng $18\sqrt{3}{m}^2$. Người ta muốn treo 1 dây đèn trang trí dọc theo cột ở giữa của lều từ đỉnh lều xuống mặt sàn. Khi đó độ dài của dây đèn cần chuẩn bị để treo ít nhất bao nhiêu mét?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh có $a$. Biết $SA$ vuông góc với đáy, $SA=a\sqrt{3}$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và $mp(ABCD)$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông có cạnh bằng $2a$ và $SA=SB=SC=SD=a\sqrt{10}$. Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, biết $SA=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Góc giữa $SC$ với $(ABCD)$ bằng?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, biết $SA=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Góc giữa $SC$ với $(ABCD)$ bằng $m^{\circ }$. Khi đó $m$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, $SA\perp (ABCD)$, $SA=a\sqrt{2}$

1. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

2. Gọi H là hình chiếu của A lên SB, Chứng minh $AH\perp$ mp(SBC) và $AH\perp SC$

3. Tính góc giữa hai đường thẳng: a) SD và BC b) AB và SC c) BD và SC

4. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp (ABCD), SC và (SAB), SA và (SBD)

5. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD), (SCD) và (SCB)

6. Chứng minh (SAC) $\perp$ (SBD)