(1,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=1$ và $u_n=\frac{u_{n-1}}{u_{n-1}+2}$, $\forall n\ge 2$. Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_1=1\ne 0$ và nếu $u_{n-1}\ne 0$ thì $u_n=\frac{u_{n-1}}{u_{n-1}+2}\ne 0$, nên mọi $u_n\ne 0$. Lấy nghịch đảo: $\frac{1}{u_n}=\frac{u_{n-1}+2}{u_{n-1}}=1+\frac{2}{u_{n-1}}$. Đặt $v_n=\frac{1}{u_n}$, khi đó $v_n=2v_{n-1}+1$, suy ra $v_n+1=2(v_{n-1}+1)$. Vậy dãy $(v_n+1)$ là cấp số nhân công bội $q=2$ với số hạng đầu $v_1+1=\frac{1}{u_1}+1=2$. Do đó $v_n+1=2\cdot 2^{n-1}=2^n$, tức $v_n=2^n-1$. Kết luận: $u_n=\frac{1}{2^n-1}$ với mọi $n\ge 1$. Kiểm tra: $u_1=\frac{1}{2-1}=1$ đúng; $u_2=\frac{1}{3}=\frac{u_1}{u_1+2}=\frac{1}{3}$ đúng.