Cho dãy số $(u_n)$, biết $\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_{n+1}=u_n+1\end{array}$ với $n\ge 1$. Số hạng thứ ba của dãy số là số nào dưới đây?

Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n=\frac{2n-1}{n+1}$. Khi đó:

Cho dãy số có số hạng tổng quát $u_n=\frac{n}{2n+1}$. Khi đó:
Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\{\begin{array}{l}{u}_1=2025\\ n\left(u_{n+1}-u_n\right)=2\left(u_n+3\right),n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$.
Tìm số hàng tổng quát của dãy số $\left(u_n\right)$ và tính $\lim \frac{u_n}{n^2}$.

Một công ty dược phẩm đang thử nghiệm một loại thuốc mới. Một thí nghiệm bắt đầu với $1,2\times 10^9$ con vi khuẩn. Một liều thuốc được sử dụng chỉ có tác dụng 24 giờ và sau mỗi 24 giờ người ta lại tiếp tục sử dụng thêm một liều thuốc. Cứ sau 24 giờ kể từ khi sử dụng mỗi liều thuốc, số lượng vi khuẩn bị tiêu diệt là $4,0\times 10^8$ và số lượng vi khuẩn tăng thêm $25\%$ so với lượng vi khuẩn ngay trước khi dùng thuốc. Số vi khuẩn còn sống sau bốn ngày kể từ khi sử dụng liều thuốc thứ nhất bằng bao nhiêu triệu con (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị)?

Có 7 điểm phân biệt được đánh dấu từ 0 đến 6. Một con châu chấu xuất phát từ điểm khác 0 và thực hiện $n-1$ lần nhảy đến $n$ vị trí. Châu chấu có thể nhảy đến ô khác hoặc nhảy lên rồi đáp xuống vị trí mà châu chấu đang đứng, tuy nhiên châu chấu không thể nhảy từ vị trí 2 đến vị trí 0 hoặc từ vị trí 2 đến vị trí 6. Một hành trình được định nghĩa là vị trí của châu chấu qua các bước nhảy. Gọi $u_n$ là số hành trình khác nhau của châu chấu sau $n$ bước nhảy.

a) Tìm công thức truy hồi của dãy $(u_n)$.

b) Chứng minh rằng $u_{2026}\cdot u_{2028}$ là tổng của 2 số chính phương.

Xét dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó khi chia cho 5 dư 1. Viết 3 số hạng đầu của dãy số