(0,5 điểm) Mặt cắt của một chảo ăngten là một phần của parabol $(P)$. Cho biết đầu thu tín hiệu đặt tại tiêu điểm $F$ cách đỉnh $O$ của chảo một khoảng là $\frac{1}{6}m$.

a. Viết phương trình chính tắc của $(P)$.
b. Tính khoảng cách từ một điểm $M$ có hoành độ $0,06$ trên ăng-ten đến $F$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với đỉnh chảo là gốc O, trục Ox là trục đối xứng của parabol hướng về phía đầu thu. Parabol chính tắc có dạng $y^2=2px$ với tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)$.

a. Theo đề bài, $OF=\frac{p}{2}=\frac{1}{6}m\Rightarrow p=\frac{1}{3}m$. Vậy phương trình chính tắc của $(P)$ là $y^2=\frac{2}{3}x$.

b. Theo tính chất của parabol, khoảng cách từ điểm $M(x_0;y_0)$ trên parabol đến tiêu điểm bằng khoảng cách từ $M$ đến đường chuẩn, tức là $MF=x_0+\frac{p}{2}$. Với $x_0=0,06m$: $MF=0,06+\frac{1}{6}=0,06+0,1\overline{6}\approx 0,2267m$ (chính xác $MF=\frac{2}{15}+\frac{1}{6}=\frac{4+5}{30}=\frac{3}{10}=0,3$... kiểm tra lại: $0,06=\frac{3}{50}$, nên $MF=\frac{3}{50}+\frac{1}{6}=\frac{9+25}{150}=\frac{34}{150}=\frac{17}{75}\approx 0,2267m$).

Vậy khoảng cách từ $M$ đến $F$ là $\frac{17}{75}m\approx 0,23m$.