(0,5 điểm) Trong một giải cờ vua gồm nam và nữ vận động viên. Mỗi vận động viên phải chơi hai ván với mỗi đồng viên còn lại. Cho biết có 2 vận động viên nữ và cho biết số ván các vận động viên chơi với nhau hơn số ván họ chơi với hai vận động viên nữ là 66. Hỏi có bao nhiêu vận động viên tham gia giải và số ván tất cả các vận động viên đã chơi?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $n$ là tổng số vận động viên, trong đó có 2 nữ nên có $n-2$ nam. Mỗi cặp đấu 2 ván.

- Số ván các vận động viên (nam) chơi với nhau: mỗi cặp nam đấu 2 ván, tổng $2C_{n-2}^2=(n-2)(n-3)$ ván.
- Số ván họ chơi với hai vận động viên nữ: mỗi nam chơi 2 ván với mỗi nữ, tức $2\cdot 2\cdot (n-2)=4(n-2)$ ván.

Theo đề, số ván nam chơi với nhau hơn số ván họ chơi với hai nữ là 66:
$$(n-2)(n-3)-4(n-2)=66$$
$$(n-2)[(n-3)-4]=66\Rightarrow (n-2)(n-7)=66$$
$$n^2-9n+14=66\Rightarrow n^2-9n-52=0$$
$$n=\frac{9+\sqrt{81+208}}{2}=\frac{9+17}{2}=13(n>0).$$

Vậy có 13 vận động viên tham gia giải (11 nam và 2 nữ).

Tổng số ván tất cả các vận động viên đã chơi:
$$2C_{13}^2=13\cdot 12=156\text{ vaˊn}.$$

Kiểm tra: số ván nam chơi với nhau $2C_{11}^2=11\cdot 10=110$; số ván nam chơi với 2 nữ $4\cdot 11=44$; hiệu $110-44=66$ ✓ thỏa mãn đề bài.