Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x)=x-\sin x$ bằng

Cho hàm số $f^{\prime }(x)=-3x^2+4x+2$ và $f(1)=2$. Hàm số $f(x)$ bằng

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$ và $3F(b)=1+3F(a)$. Tính $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=3^x$, hai trục tọa độ và đường thẳng $x=2$ bằng

Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $x$ $(0\le x\le 3)$ cắt một vật thể có mặt cắt là một hình vuông cạnh bằng $x\sqrt{2}$. Thể tích vật thể đó bằng bao nhiêu?

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=1-x^2$, $y=0$ quanh trục $Ox$ có kết quả dạng $\frac{a\pi }{b}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó $a+b$ có kết quả là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{3}$. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng $d$?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;-3)$, $N(0;2;-1)$ và mặt phẳng $(P):x-2y+2z-6=0$. Gọi mặt phẳng $(Q):2x+by+cz+d=0$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A$, $N$ và vuông góc với $(P)$. Khi đó:

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)=3e^{-x}$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=2$. Khi đó:

Một chiếc xe đang chạy với vận tốc $v_0=20$ m/s thì tài xế hãm phanh. Kể từ thời điểm đó, xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=-4t+20$ (m/s).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng:
$$\Delta :\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-2t\\ z=3+t\end{array},t\in R\text{ vaˋ }{\Delta }^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=2s\\ y=1+s\\ z=2-s\end{array},s\in R$$

Người ta muốn đưa dầu từ một xà lan chứa dầu ở vị trí $N(1;2;0)$ trong không gian $Oxyz$ lên bồn chứa dầu đặt ở vị trí $M(7;8;12)$ trên bờ thông qua một ống dẫn dầu. Biết ống dẫn dầu được lắp đặt xuyên qua một bức tường rào bảo vệ và trên bức tường có gắn hai đèn năng lượng mặt trời lần lượt ở hai vị trí $A(10;0;0)$ và $B(0;10;0)$, bồn dầu nằm trên mặt đất vuông góc với bức tường. Gọi $I(a;b;c)$ là vị trí mà ống dẫn dầu giao với bức tường. Tính giá trị biểu thức $a+b+c$.

Cho ${\int }_0^1\left(\sqrt{x}-e^x\right)dx=ae+\frac{b}{c}$, $(a,b,c\in \mathbb{Q})$, $\frac{b}{c}$ là phân thức tối giản. Biểu thức $a+b-c$ bằng bao nhiêu?

Một nhà thiết kế cần làm một cái logo có dạng hình chữ nhật kích thước $50cm\times 100cm$. Trong logo đó có hai đường parabol chung đỉnh, cùng trục đối xứng chứa đường trung bình (chiều dài) của hình chữ nhật và hai parabol đi qua bốn đỉnh của hình chữ nhật. Nhà thiết kế có kế hoạch làm màu nền là màu xanh cho phần phía trên của cả hai đường parabol và phần phía dưới của cả hai đường parabol, phần còn lại là màu khác. Diện tích phần màu xanh là bao nhiêu $d{m}^2$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?