Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành, tổng $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$ là vecto đường chéo đi từ đỉnh chung $C$, tức $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, theo quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với cạnh huyền $BC=12$ nên $AM=\frac{BC}{2}=6$. Do đó $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}\right|=2\cdot AM=2\cdot 6=12$. Chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \left(\vec{a},\vec{b}\right)$. Do đó A chỉ đúng khi hai vecto cùng phương cùng chiều, C và D sai vì dùng sai công thức. Khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$. Do đó $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{2}\left(-A{B}^2+0\right)=-\frac{a^2}{2}$, vì $\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{AC}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\vec{a}=(-4;0)=-4\vec{i}+0\vec{j}=-4\vec{i}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $BC\parallel AD$ và $BC=AD$, hai vecto cùng hướng nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$. Các vecto $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{DA}$ không bằng $\overrightarrow{AD}$ (khác hướng hoặc khác điểm đầu - điểm cuối). Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 0102: câu 12 là A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{MC}$ và $\overrightarrow{MB}$ cùng nằm trên đường thẳng $BC$ nhưng hướng ra hai phía khác nhau (một cái hướng về $C$, một cái hướng về $B$), do đó chúng ngược hướng. Các cặp khác: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương; $\overrightarrow{MC}$ và $\overrightarrow{BM}$ cùng hướng (cùng chỉ về phía $C$); $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BM}$ không cùng phương. Vậy đáp án là C, khớp với bảng đáp án (mã đề 0102, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $M$ nằm giữa $B$ và $C$ trên đường thẳng $BC$. Xét từng cặp: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng xuất phát từ $A$ đi tới hai điểm khác nhau, không cùng phương nên không ngược hướng (A sai). $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BM}$ không cùng phương nên không ngược hướng (B sai). $\overrightarrow{MC}$ và $\overrightarrow{BM}$ cùng hướng (cùng chiều từ $B$ tới $C$) (C sai). $\overrightarrow{MC}$ hướng từ $M$ tới $C$ còn $\overrightarrow{MB}$ hướng từ $M$ tới $B$, hai vectơ cùng nằm trên đường thẳng $BC$ nhưng chỉ về hai phía ngược nhau nên ngược hướng. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $AB\parallel CD$ và $AD\parallel BC$ với $AD=BC$, do đó $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ (cùng hướng, cùng độ dài). Các vectơ khác: $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AD}$; $\overrightarrow{AC}$ là đường chéo; $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}$. Vậy đáp án là C, trùng với bảng đáp án mã đề 0101 (câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi hai lực có độ lớn 25 N và 12 N hợp nhau góc 100°. Độ lớn hợp lực của hai lực này là $F_{12}=\sqrt{25^2+12^2+2\cdot 25\cdot 12\cos 100^{\circ }}=\sqrt{625+144+600\cos 100^{\circ }}$. Với $\cos 100^{\circ }\approx -0,17365$ ta được $F_{12}=\sqrt{769-104,19}=\sqrt{664,81}\approx 25,785$ N. Lực thứ ba 4 N vuông góc với mặt phẳng chứa hai lực đầu nên vuông góc với ${\vec{F}}_{12}$, do đó hợp lực tổng có độ lớn $F=\sqrt{F_{12}^2+4^2}=\sqrt{664,81+16}=\sqrt{680,81}\approx 26,09\approx 26,1$ N. Kết quả khớp với đáp án nguồn 26,1.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$ (quy tắc hình bình hành trên đáy $ABCD$). Sau đó $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{D{B}^{\prime }}$ (vì $B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }=D{D}^{\prime }$). Vậy $\overrightarrow{D{B}^{\prime }}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}+\overrightarrow{DC}$, tức đáp án D. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ chứ không phải $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$; B sai vì $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{D{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{DB}$; C sai vì $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$, không bằng $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi khối lượng quả táo sang kilogam: $m=102\text{gam}=0,102\text{kg}$. Độ lớn lực hấp dẫn: $P=m\cdot g=0,102\times 9,8=0,9996\text{N}$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đổi khối lượng quả táo sang kilogam: $m=102$ gam $=0,102$ kg. Độ lớn lực hấp dẫn: $P=mg=0,102\cdot 9,8=0,9996$ N. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 5, Mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Ta có $\vec{a}+\vec{c}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}$ và $\vec{b}+\vec{d}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$. Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình bình hành, khi đó $O$ là trung điểm cả $AC$ lẫn $BD$. Với mọi điểm $S$: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO}$ và $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}$. Suy ra $\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$. Khẳng định đúng là C, trùng với đáp án nguồn (đề 0102, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, hai vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ cùng đi từ điểm dưới lên điểm trên tương ứng, cùng hướng và cùng độ dài (bằng cạnh lập phương), nên $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$.

Kiểm tra các phương án khác:
- A: $\overrightarrow{A^{\prime }C}$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ là hai đường chéo khác nhau của lập phương, không cùng phương nên không bằng nhau.
- C: $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CB}$ ngược hướng nhau ($\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$), nên sai.
- D: $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ ngược hướng nhau ($\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$), nên sai.

Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, các cạnh $A{A}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ cùng song song, cùng hướng (đều đi từ mặt đáy lên mặt trên) và cùng độ dài nên $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ → A đúng.
- B sai: $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ là hai vectơ đối nhau ($\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=-\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$) vì $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ nhưng ngược hướng.
- C sai: $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là hai vectơ đối nhau.
- D sai: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$, còn $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{CD}$, mà $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$ nên hai vectơ đối nhau.

Đs: Vậy $\vec{F}=(25\sqrt{2};-25\sqrt{2};50\sqrt{3})$ hay $x+y+z\sqrt{3}=150$

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$ tâm $O$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường chéo. Do đó $O$ là trung điểm của $AC$, tức $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$ (hai vectơ đối nhau). Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{DO}$: $A$ và $D$ không đối xứng qua $O$ nên khác $\vec{0}$; $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$: $A$, $B$ không đối xứng qua $O$ nên khác $\vec{0}$; $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}\ne \vec{0}$. Vậy khẳng định đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1003, Câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ tâm $O$, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, nên $O$ là trung điểm của $AC$. Do đó $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AO}$ (cùng hướng, cùng độ dài). Kiểm tra: $\overrightarrow{CO}$ đối hướng với $\overrightarrow{OC}$; $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OA}$ không bằng $\overrightarrow{OC}$ vì $O$ không là trung điểm của $BC$ hay $AB$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1003, câu 12: D).