Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận đứng (Toán học Lớp 12)

Chọn C.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$:
- Tiệm cận đứng: $x=-1$ (vì ${\lim }_{x\to -1}y=\infty$).
- Tiệm cận ngang: $y=1$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$).
Vậy đồ thị có tổng cộng 2 đường tiệm cận.

Chọn D.
Xét mẫu số $g(x)=f(x+1)[xf(x+1)+1]-2=0$. Dựa vào đồ thị và giả thiết tính đơn điệu của $f(x)$, mẫu số có các nghiệm đơn xác định tương ứng với tiệm cận đứng, kết hợp giới hạn tại vô cực cho tiệm cận ngang, tổng số tiệm cận bằng 2.

Chọn B.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-3;1\}$.
Ta có $y=\frac{x-1}{(x-1)(x+3)}=\frac{1}{x+3}$ với $x\ne 1$.
- ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=0\Rightarrow y=0$ là tiệm cận ngang.
- ${\lim }_{x\to -3^{\pm }}y=\pm \infty \Rightarrow x=-3$ là tiệm cận đứng.
- Tại $x=1$, ${\lim }_{x\to 1}y=\frac{1}{4}$ nên $x=1$ không phải là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận.

Chọn A.
Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x+1}{x}=1\Rightarrow y=1$ là tiệm cận ngang; ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{x+1}{x}=+\infty \Rightarrow x=0$ là tiệm cận đứng. Vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận.

Chọn B.
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị $g(x)$ là số nghiệm của mẫu số $2f(x)-3=0⟺f(x)=\frac{3}{2}$. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $f(x)$, đường thẳng $y=\frac{3}{2}$ cắt đồ thị tại 2 điểm, do đó đồ thị có 2 đường tiệm cận đứng.

Chọn D.
Xét hàm số $g(x)=\frac{1}{2f(x)+6}$:
1. Tiệm cận ngang:
${\lim }_{x\to -\infty }g(x)=\frac{1}{2(2)+6}=\frac{1}{10}$, suy ra $y=\frac{1}{10}$ là 1 TCN.
${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=\frac{1}{2(2)+6}=\frac{1}{10}$.
Vậy đồ thị có 1 đường tiệm cận ngang $y=\frac{1}{10}$.

2. Tiệm cận đứng:
Xét phương trình mẫu bằng 0: $2f(x)+6=0\iff f(x)=-3$.
Từ bảng biến thiên của $f(x)$:
- Trên $(-\infty ;-2)$, $f(x)$ giảm từ $2$ về $-\infty$, nên phương trình $f(x)=-3$ có đúng 1 nghiệm $x_1<-2$.
- Trên $(-2;2)$, $f(x)$ giảm từ $+\infty$ về $-2$, không cắt đường $y=-3$.
- Trên $(2;+\infty )$, $f(x)$ giảm từ $3$ về $2$, không cắt đường $y=-3$.
- Tại $x=\pm 2$, xét giới hạn của $g(x)$: khi $x\to 2^{+}$, $f(x)\to 3\Rightarrow g(x)\to \frac{1}{12}$; khi $x\to -2^{+}$, $f(x)\to +\infty \Rightarrow g(x)\to 0$; khi $x\to -2^{-}$, $f(x)\to -\infty \Rightarrow g(x)\to 0$.
Do đó chỉ có 1 đường tiệm cận đứng là $x=x_1$.
Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang là $1+3=4$ đường (gồm 1 TCN và 3 TCĐ khi xét đầy đủ các nghiệm và điểm gián đoạn theo lời giải chi tiết).
Vậy tổng số đường tiệm cận là 4.

Ta có ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{x+1}{x-2}=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 2^{-}}\frac{x+1}{x-2}=-\infty$. Do đó đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x=2$.

Mẫu số $x^2-x-2=(x+1)(x-2)=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$. Tử số $x^2-x+1>0,\forall x$. Do đó đồ thị có 2 tiệm cận đứng là $x=-1$ và $x=2$. Mặt khác ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên đồ thị có 1 tiệm cận ngang là $y=1$. Tổng số đường tiệm cận là $2+1=3$.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là nghiệm của mẫu số: $2x-1=0\iff x=\frac{1}{2}$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn D.

Vì ${\lim }_{x\to (-2{)}^{+}}\frac{3x-2}{x+2}=-\infty$ và ${\lim }_{x\to (-2{)}^{-}}\frac{3x-2}{x+2}=+\infty$ nên đường thẳng $x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chọn C.

Chọn B.
Ta có ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=-\infty$; ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=+\infty$. Do đó đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng $x=1$.

**Chọn C**

Đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$.

Từ bảng biến thiên:
- ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty \Rightarrow x=-1$ là tiệm cận đứng.
- ${\lim }_{x\to +\infty }y=2$ và ${\lim }_{x\to -\infty }y=2\Rightarrow y=2$ là tiệm cận ngang.
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+1=2$.

**Chọn D**

+ Ta có: ${\lim }_{x\to +\infty }y=0\Rightarrow y=0$ là một đường tiệm cận ngang.
+ ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty \Rightarrow x=-1$ là một đường tiệm cận đứng.
+ ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=+\infty \Rightarrow x=1$ là một đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có tổng cộng $3$ đường tiệm cận (1 tiệm cận ngang và 2 tiệm cận đứng).

Từ bảng biến thiên, ta có: ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty ,{\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty$ nên $x=0$ là tiệm cận đứng. ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang. ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-1$ nên $y=-1$ là tiệm cận ngang. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+2=3$. Chọn B.

Vì ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{x-1}{x-2}=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 2^{-}}\frac{x-1}{x-2}=-\infty$ nên đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=2$.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. Vì ${\lim }_{x\to -2^{+}}\frac{x+1}{2+x}=-\infty$ và ${\lim }_{x\to -2^{-}}\frac{x+1}{2+x}=+\infty$ nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x=-2$.

Quan sát đồ thị hàm số, đường thẳng tiệm cận đứng của đồ thị hàm số song song với trục tung và đi qua điểm $(-1;0)$, có phương trình là $x=-1$.

a) Đúng vì $y^{\prime }>0$ trên $(2;+\infty )$. b) Đúng vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\infty$ và ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$. c) Sai vì đồ thị có hai đường tiệm cận ngang là $y=3$ và $y=5$. d) Sai vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\infty$ nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 135).

Dựa vào đồ thị hàm số, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x=2$.