Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khoảng biến thiên và IQR mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tích lũy: 10; 37; 68; 93; 100 (n=100). Q1 ứng với vị trí thứ 25, nằm trong nhóm [22;25): Q1 = 22 + 3·(25−10)/27 = 22 + 15/27 ≈ 23,67. Q3 ứng với vị trí thứ 75, nằm trong nhóm [28;31): Q3 = 28 + 3·(75−68)/25 = 28 + 0,84 = 28,84. Khoảng tứ phân vị IQR = Q3 − Q1 ≈ 28,84 − 23,67 = 5,17, khớp với đáp án nguồn 5,17.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=100$. Tần số tích lũy: 10; 37; 68; 93; 100.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=25$ thuộc nhóm $[22;25)$:
$$Q_1=22+\frac{25-10}{27}\cdot 3=22+\frac{45}{27}\approx 23,67.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=75$ thuộc nhóm $[28;31)$:
$$Q_3=28+\frac{75-68}{25}\cdot 3=28+\frac{21}{25}=28,84.$$

Khoảng tứ phân vị:
$$\Delta Q=Q_3-Q_1=28,84-23,6667\approx 5,17.$$
Kết quả trùng với đáp án nguồn 5,17.

(AI giải đề cho tôi)
Với mẫu số liệu tháng 6/2021, các nhóm có tần số khác 0 là $[30;32)$, $[32;34)$, $[34;36)$, $[36;38)$, $[38;40]$. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu phải nhóm có tần số lớn nhất (cuối cùng) và đầu trái nhóm có tần số khác 0 đầu tiên: $R=40-30=10$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n=30. Q1: vị trí 30/4=7,5 thuộc nhóm [21;24) (tần số tích lũy trước là 6), nên Q1 = 21 + (7,5-6)/12 · 3 = 21 + 0,375 = 21,375. Q3: vị trí 3·30/4=22,5 thuộc nhóm [24;27) (tần số tích lũy trước là 18), nên Q3 = 24 + (22,5-18)/9 · 3 = 24 + 1,5 = 25,5. Khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q3 - Q1 = 25,5 - 21,375 = 4,125. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=30$. Tần số tích lũy: 5; 15; 20; 28; 30.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{30}{4}=7,5$ thuộc nhóm $[800;850)$:
$$Q_1=800+\frac{7,5-5}{10}\cdot 50=812,5.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3\cdot 30}{4}=22,5$ thuộc nhóm $[900;950)$:
$$Q_3=900+\frac{22,5-20}{8}\cdot 50=915,625.$$

Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=915,625-812,5=103,125$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+12+15+8=38$. Tần số tích lũy: 3; 15; 30; 38.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=9,5$, giá trị này thuộc nhóm $[5;10)$ nên
$$Q_1=5+\frac{9,5-3}{12}\cdot 5=5+\frac{32,5}{12}\approx 7,7083.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=28,5$, giá trị này thuộc nhóm $[10;15)$ (vì tần số tích lũy trước nhóm là 15) nên
$$Q_3=10+\frac{28,5-15}{15}\cdot 5=10+4,5=14,5.$$

Khoảng tứ phân vị:
$$\Delta Q=Q_3-Q_1=14,5-7,7083\approx 6,79.$$

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng có tần số khác 0 và đầu mút trái của nhóm đầu tiên. Nhóm đầu tiên là $[50;55)$ nên giá trị nhỏ nhất xấp xỉ $50$; nhóm cuối có tần số khác $0$ là $[80;85)$ (nhóm $[85;90)$ có tần số $0$) nên giá trị lớn nhất xấp xỉ $85$. Vậy khoảng biến thiên $R=85-50=35$ (tuổi).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=18+20+13+1+16+16=84$, nên $\frac{n}{4}=21$ và $\frac{3n}{4}=63$.

Tứ phân vị thứ nhất: nhóm chứa vị trí thứ 21 là $[4;7)$ (vì tần số tích lũy đến $[1;4)$ là 18, đến $[4;7)$ là 38). Theo công thức tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm:
$$Q_1=4+\frac{21-18}{20}\cdot (7-4)=4+\frac{9}{20}=4,45.$$

Tứ phân vị thứ ba: nhóm chứa vị trí thứ 63 là $[13;16)$ (tần số tích lũy đến $[10;13)$ là 52, đến $[13;16)$ là 68):
$$Q_3=13+\frac{63-52}{16}\cdot (16-13)=13+\frac{33}{16}=15,0625.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=15,0625-4,45=10,6125\approx 10,6.$$

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=30$. a) Khoảng biến thiên $=30-0=30$, không phải 25 → sai. b) $Q_3$ ở vị trí $0.75\cdot 30=22.5$; tích lũy: 2, 8, 16, 25 → nhóm thứ tư $[15;20)$ chứa $Q_3$ → đúng. c) Số trung bình $\bar{x}=(2\cdot 2.5+6\cdot 7.5+8\cdot 12.5+9\cdot 17.5+3\cdot 22.5+2\cdot 27.5)/30=430/30\approx 14.33\ne 10$ → sai. d) $Q_1$ ở vị trí 7.5 thuộc nhóm $[5;10)$: $Q_1=5+(7.5-2)/6\cdot 5\approx 9.583$; $Q_3=15+(22.5-16)/9\cdot 5\approx 18.611$; khoảng tứ phân vị $\Delta Q\approx 9.03<10$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $=30-0=30\ne 25$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vị trí $Q_3=0.75\cdot 30=22.5$, tích lũy đến nhóm $[15;20)$ là $25>22.5$ nên $Q_3$ thuộc $[15;20)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=430/30\approx 14.33\ne 10$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$Q_1\approx 9.583$, $Q_3\approx 18.611$, $\Delta Q\approx 9.03<10$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6. Mẫu số liệu ghép nhóm, $n=100$, các nhóm có độ dài bằng nhau $d=20$.

a) Khoảng biến thiên: $R=100-0=100$.

Tìm $Q_1$: vì $n/4=25$ và $6<25\le 38$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[20;40)$ ($x_1=20$, $n_1=6$, $n_2=32$):
$$Q_1=20+\frac{25-6}{32}\cdot 20=20+11,875=31,875\approx 32.$$

Tìm $Q_3$: vì $3n/4=75$ và $38<75\le 88$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[40;60)$ ($x_3=40$, $n_3=50$, $CF=38$):
$$Q_3=40+\frac{75-38}{50}\cdot 20=40+14,8=54,8\approx 55.$$

Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=54,8-31,875=22,925\approx 23$.

b) Nên dùng khoảng tứ phân vị. Vì mẫu số liệu có giá trị đặc biệt nhỏ (nhóm $[0;20)$ chỉ có 6 người) và giá trị đặc biệt lớn (nhóm $[80;100)$ chỉ có 2 người); khoảng biến thiên $R=100$ bị ảnh hưởng bởi các giá trị này nên không phản ánh tốt mức độ phân tán. Khoảng tứ phân vị ($\approx 23$) không chịu ảnh hưởng của các giá trị ngoại lai nên cho đánh giá tin cậy hơn về mức độ biến thiên của phần lớn dữ liệu.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=30$. Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=7,5$ thuộc nhóm $[21;24)$ nên $Q_1=21+\frac{7,5-6}{12}\cdot 3=21,375$. Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=22,5$ thuộc nhóm $[24;27)$ (tần số tích lũy trước là 18) nên $Q_3=24+\frac{22,5-18}{9}\cdot 3=25,5$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=25,5-21,375=4,125$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=160$, nên $Q_1$ ở vị trí thứ $\frac{160}{4}=40$ và $Q_3$ ở vị trí thứ $\frac{3\cdot 160}{4}=120$. Tần số tích lũy: $23;63;119;152;160$. Ta có $Q_1$ thuộc nhóm $[26;29)$: $Q_1=26+\frac{3(40-23)}{40}=26+1,275=27,275$. Ta có $Q_3$ thuộc nhóm $[32;35)$: $Q_3=32+\frac{3(120-119)}{33}=32+\frac{1}{11}\approx 32,0909$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 32,0909-27,275=4,8158\approx 4,8$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=23+40+56+33+8=160$. Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=40$. Tần số tích lũy: 23, 63, 119, 152, 160. Vì $23\le 40\le 63$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[26;29)$: $Q_1=26+\frac{40-23}{40}\cdot 3=26+\frac{51}{40}=27,275$. Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=120$. Vì $119\le 120\le 152$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[32;35)$: $Q_3=32+\frac{120-119}{33}\cdot 3=32+\frac{3}{33}\approx 32,0909$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 32,0909-27,275=4,8159\approx 4,8$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=160$, nên $Q_1$ ở vị trí $\frac{160}{4}=40$ và $Q_3$ ở vị trí $\frac{3\cdot 160}{4}=120$. Tần số tích lũy: 23; 63; 119; 152; 160. Vì $23<40\le 63$ nên $Q_1\in [26;29)$: $Q_1=26+\frac{3(40-23)}{40}=27,275$. Vì $119<120\le 152$ nên $Q_3\in [32;35)$: $Q_3=32+\frac{3(120-119)}{33}=32+\frac{1}{11}\approx 32,0909$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 32,0909-27,275=4,8159\approx 4,8$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=23+40+56+33+8=160$. Vị trí tứ phân vị: $\frac{n}{4}=40$, $\frac{3n}{4}=120$. Tần số tích lũy: 23; 63; 119; 152; 160.
- $Q_1$ thuộc nhóm $[26;29)$: $Q_1=26+\frac{3(40-23)}{40}=26+\frac{51}{40}=27,275$.
- $Q_3$ thuộc nhóm $[32;35)$: $Q_3=32+\frac{3(120-119)}{33}=32+\frac{3}{33}\approx 32,0909$.
Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 32,0909-27,275=4,8159\approx 4,8$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=1+4+8+12+3+2=30$. Tần số tích lũy: 1; 5; 13; 25; 28; 30.
Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=7,5$ thuộc nhóm $[95;100)$:
$$Q_1=95+\frac{7,5-5}{8}\cdot 5=95+1,5625=96,5625.$$
Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=22,5$ thuộc nhóm $[100;105)$:
$$Q_3=100+\frac{22,5-13}{12}\cdot 5=100+\frac{47,5}{12}\approx 103,9583.$$
Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 103,9583-96,5625=7,3958\approx 7,4.$$

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=8+10+7+5+2+1=33$. Tần số tích lũy: 8; 18; 25; 30; 32; 33.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{33}{4}=8,25$ thuộc nhóm $[60;120)$ nên
$$Q_1=60+\frac{60(8,25-8)}{10}=60+1,5=61,5.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3\cdot 33}{4}=24,75$ thuộc nhóm $[120;180)$ nên
$$Q_3=120+\frac{60(24,75-18)}{7}=120+\frac{405}{7}\approx 177,857.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 177,857-61,5=116,357\approx 116,36\text{ (giaˆy)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=7+10+17+24+13+8+5=84$. Tần số tích lũy: 7; 17; 34; 58; 71; 79; 84.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=21$. Vì tần số tích lũy trước nhóm $[7,5;8)$ là 17 và tần số tích lũy sau nhóm là 34 (17 < 21 ≤ 34), $Q_1$ thuộc nhóm $[7,5;8)$:
$$Q_1=7,5+\frac{21-17}{17}\cdot 0,5=7,5+\frac{2}{17}\approx 7,6176.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=63$. Vì 58 < 63 ≤ 71, $Q_3$ thuộc nhóm $[8,5;9)$:
$$Q_3=8,5+\frac{63-58}{13}\cdot 0,5=8,5+\frac{2,5}{13}\approx 8,6923.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 8,6923-7,6176=1,0747\approx 1,1.$$

Vậy chọn đáp án A. (Lưu ý: lời giải AI trước đó sai ở bước xác định nhóm chứa $Q_1$ — dùng nhầm tần số tích lũy trước nhóm là 7 thay vì 17, dẫn tới $Q_1=7,7$ và kết luận sai là B.)

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=30$, nên $\frac{n}{4}=7,5$ và $\frac{3n}{4}=22,5$. Tần số tích lũy: $6;11;21;27;30$.

Tứ phân vị thứ nhất: vì $7,5>6$ và $7,5\le 11$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[800;850)$:
$$Q_1=800+\frac{7,5-6}{5}\cdot 50=800+15=815.$$

Tứ phân vị thứ ba: vì $22,5>21$ và $22,5\le 27$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[900;950)$:
$$Q_3=900+\frac{22,5-21}{6}\cdot 50=900+12,5=912,5.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=912,5-815=97,5.$$

Tần số tích lũy: 5; 15; 24; 28; 30 với $n=30$.
• Ta có $\frac{n}{4}=7,5$. Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có TSTL $\ge \frac{n}{4}$:
$$Q_1=100+\frac{7,5-5}{10}\cdot 50=\frac{225}{2}$$
• Ta có $\frac{3n}{4}=22,5$. Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có TSTL $\ge \frac{3n}{4}$:
$$Q_3=150+\frac{22,5-15}{9}\cdot 50=\frac{575}{3}$$
• Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1=\frac{475}{6}\approx 79,2$.