Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Diện tích giữa đồ thị và trục hoành (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, $f(x)\ge 0$ trên $[-2;1]$ và $f(x)\le 0$ trên $[1;3]$. Diện tích: $S={\int }_{-2}^1|f(x)|dx+{\int }_1^3|f(x)|dx={\int }_{-2}^{1}f(x)dx-{\int }_1^{3}f(x)dx$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol cắt trục hoành tại x=2. Trên [0,2] y≥0, trên [2,3] y≤0. Diện tích = ∫₀²(4−x²)dx + ∫₂³(x²−4)dx = [4x−x³/3]₀² + [x³/3−4x]₂³ = (8−8/3) + (9−12−(8/3−8)) = 16/3 + 7/3 = 23/3. Khớp đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trên [0;1] ta có ∛x ≥ 0 nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ∛x, trục Ox, x = 0 và x = 1 là S = ∫₀¹|∛x|dx = ∫₀¹∛x dx. Khẳng định ĐÚNG.

b) Diện tích giới hạn bởi y = x³, trục Ox, x = 0, x = 1 là S = ∫₀¹x³ dx = x⁴/4|₀¹ = 1/4 (dvdt), không phải 3/4. Khẳng định SAI.

c) Trên [0;1] ta có ∛x ≥ x³ (ví dụ x = 1/4: ∛x ≈ 0,63 > x³ ≈ 0,0156), nên diện tích phải tính bằng S = ∫₀¹(∛x − x³)dx, không phải ∫₀¹(x³ − ∛x)dx (tích phân này âm). Khẳng định SAI.

d) Diện tích phần tô đậm (giữa hai đồ thị trên [0;1]) là S = ∫₀¹(∛x − x³)dx = 3/4 − 1/4 = 1/2 (dvdt). Viên gạch là hình vuông cạnh 1 có diện tích 1, nên phần không tô đậm có diện tích 1 − 1/2 = 1/2 (dvdt). Khẳng định ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1], ∛x ≥ 0 nên S = ∫₀¹|∛x|dx là công thức đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
S = ∫₀¹x³ dx = 1/4 (dvdt), không phải 3/4.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1] có ∛x ≥ x³ nên công thức đúng là S = ∫₀¹(∛x − x³)dx; công thức đã cho cho giá trị âm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tô đậm = ∫₀¹(∛x − x³)dx = 3/4 − 1/4 = 1/2; phần không tô đậm = 1 − 1/2 = 1/2 (dvdt).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, $f(x)\ge 0$ trên $[a;c]$ và $f(x)\le 0$ trên $[c;b]$. Diện tích hình phẳng $(H)$ là $S={\int }_a^{c}f(x)dx-{\int }_c^{b}f(x)dx={\int }_a^b|f(x)|dx$. Xét các mệnh đề: B đúng vì $S={\int }_a^b|f(x)|dx$. C đúng vì ${\int }_b^{c}f(x)dx=-{\int }_c^{b}f(x)dx\ge 0$, nên ${\int }_a^{c}fdx+{\int }_b^{c}fdx=S$. D đúng theo công thức trên. A sai vì ${\int }_a^{c}fdx+{\int }_c^{b}fdx={\int }_a^{b}f(x)dx$ là tích phân có dấu (phần âm bị trừ đi), không phải diện tích. Vậy mệnh đề sai là A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hình phẳng nằm trên trục Ox, giới hạn bởi $y=2026^x>0$, $y=0$, $x=0$, $x=2$. Diện tích là $S={\int }_0^2\left(2026^x-0\right)dx={\int }_0^{2}2026^{x}dx$. Các phương án có $\pi$ dùng cho thể tích quay quanh trục Ox, còn $2026^{2x}$ là bình phương hàm số, đều sai. Khớp với đáp án nguồn B.

Đồ thị hàm số bậc $3$ đi qua $(0;0),(1;0),(3;0)$ và $(2;2)$ nên $f(x)=ax(x-1)(x-3)$ với $f(2)=-2a=2\Rightarrow a=-1$, tức là $f(x)=-x^3+4x^2-3x$. Diện tích hình phẳng được tô đậm là $S={\int }_0^3|f(x)|\mathrm{d}x=-{\int }_0^1(-x^3+4x^2-3x)\mathrm{d}x+{\int }_1^3(-x^3+4x^2-3x)\mathrm{d}x=\frac{37}{12}$.

Chọn C.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=2^x$, $y=0$, $x=0$, $x=2$ là $S={\int }_0^2|2^x|dx={\int }_0^2{2}^{x}dx$ (do $2^x>0$ với mọi $x$).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ là $S={\int }_a^b|f(x)|dx={\int }_0^4|x^2-4x|dx$.
Chọn C.

Diện tích hình phẳng cần tìm là:
$S={\int }_{-1}^3|f(x)|\mathrm{d}x={\int }_{-1}^1|2x+1|\mathrm{d}x+{\int }_1^{3}3\mathrm{d}x={\int }_{-1}^{-\frac{1}{2}}(-2x-1)\mathrm{d}x+{\int }_{-\frac{1}{2}}^1(2x+1)\mathrm{d}x+{\int }_1^{3}3\mathrm{d}x=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}+6=\frac{17}{2}$.
Chọn đáp án A.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=2^x$, trục hoành $y=0$ và hai đường thẳng $x=0,x=3$ là $S={\int }_0^3|2^x|dx={\int }_0^3{2}^{x}dx$.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 9, mã đề 0201: D).

Dựa vào đồ thị, ta có $S={\int }_{-1}^{1}f(x)\text{d}x-{\int }_1^{2}f(x)\text{d}x$. Chọn A.