Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=2^x$, $y=0$, $x=0$, $x=3$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Một công ty có ý định thiết kế một logo hình vuông có độ dài nửa đường chéo bằng $4$. Biểu tượng $4$ chiếc lá (được tô màu) được tạo thành bởi các đường cong đối xứng với nhau qua tâm của hình vuông và qua các đường chéo.

[IMAGE:img_q18_logo]

Một trong số các đường cong ở nửa bên phải của logo là một phần của đồ thị hàm số bậc ba dạng $y=a{x}^3+b{x}^2-x$ với hệ số $a<0$. Để kỷ niệm ngày thành lập $2/3$, công ty thiết kế để tỉ số diện tích được tô màu so với phần không được tô màu bằng $\frac{2}{3}$. Tính $a+b$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $(0;+\infty )$ thỏa mãn $f(x)+(x-1)f^{\prime }(x)=x+\frac{1}{x}-2+2(x-1)\ln x,\forall x\in (0;+\infty )$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi bốn đường $y=f(x)$, trục hoành, $x=e^2$, $x=e^3$ là số thực thuộc tập hợp nào trong các tập hợp sau đây?

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3$, trục hoành $Ox$, các đường thẳng $x=1$, $x=2$ là

Để trang trí bức tường trong một căn phòng, bạn Hoa vẽ lên tường một hình như sau: Đầu tiên bạn vẽ một hình lục giác đều có cạnh bằng $2\text{ dm}$; sau đó trên mỗi cạnh của hình lục giác đều vẽ một cánh hoa hình parabol đi qua hai điểm đầu mút của cạnh, đỉnh parabol nằm phía ngoài hình lục giác và cách cạnh tương ứng là $3\text{ dm}$; cuối cùng bạn vẽ đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của sáu parabol ở trên (tham khảo hình vẽ). Bạn Hoa tô màu phần nằm giữa hình tròn và các cánh hoa (phần tô đậm). Diện tích phần tô màu là bao nhiêu ${\text{dm}}^2$? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
[IMAGE_1]

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2$, trục hoành $Ox$, các đường thẳng $x=1$, $x=2$ là

Câu 7: Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng: