Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số tăng rồi giảm quanh $x=-1$ với giá trị $f(-1)=2$, nên điểm cực đại là $M(-1;2)$. Điểm $M(1;-2)$ là điểm cực tiểu, còn $(-2;-4)$ và $(2;4)$ là hai đầu mút của đồ thị, không phải điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Tại $x=0$: $y=5$; tại $x=2$: $y=-8+12+5=9$. Vậy hai điểm cực trị là $A(0;5)$ và $B(2;9)$. Độ dài $AB=\sqrt{(2-0{)}^2+(9-5{)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại điểm có tung độ $y=2$ (đỉnh cực đại trên trục $Oy$), nên giá trị cực đại bằng 2 → mệnh đề a) đúng. Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt (một nghiệm âm và hai nghiệm dương), nên phương trình $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ có ba nghiệm phân biệt → b) đúng, và có hai nghiệm dương phân biệt → c) đúng. Vì có một nghiệm âm nên phương trình không thể có ba nghiệm dương phân biệt → mệnh đề d) sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu tại ba điểm: $x=-1$ (từ $-$ sang $+$, cực tiểu), $x=0$ (từ $+$ sang $-$, cực đại), $x=1$ (từ $-$ sang $+$, cực tiểu). Vậy hàm số có 3 điểm cực trị. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, và tại mỗi điểm đó $f^{\prime }$ đổi dấu (đi từ dương sang âm hoặc âm sang dương). Vì $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, tại mỗi nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$ mà đạo hàm đổi dấu, hàm số đạt một điểm cực trị. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị, tương ứng phương án B (đáp án khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: đường cong chỉ cắt trục hoành tại $x=-1$, tại đó $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương. Tại $x=0$ đồ thị có điểm $(0;3)$ và tại $x=1$ có điểm cực tiểu $(1;2)$ nằm phía trên trục hoành, tức $f^{\prime }(1)=2\ne 0$. Do đó:
- A sai: $f^{\prime }(0)=3\ne 0$ nên $f(x)$ không đạt cực đại tại $x=0$.
- B sai: $f(x)$ chỉ có đúng một điểm cực trị (cực tiểu tại $x=-1$), vì $f^{\prime }(x)=0$ chỉ tại $x=-1$.
- C đúng: tại $x=-1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x=-1$.
- D sai: $f^{\prime }(1)=2\ne 0$ nên $f(x)$ không đạt cực trị tại $x=1$.
Đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2(x-3{)}^3(2x+3)$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)$: $x=1$ (bội 2), $x=3$ (bội 3), $x=-\frac{3}{2}$ (bội 1). Xét dấu $f^{\prime }$:
- Qua $x=-\frac{3}{2}$: $f^{\prime }$ đổi dấu (từ $+$ sang $-$ vì $(2x+3)$ đổi dấu, các nhân tử khác giữ dấu) $\Rightarrow$ cực đại.
- Qua $x=1$: $(x-1{)}^2\ge 0$ nên $f^{\prime }$ không đổi dấu $\Rightarrow$ không phải cực trị.
- Qua $x=3$: $(x-3{)}^3$ đổi dấu nên $f^{\prime }$ đổi dấu (từ $-$ sang $+$) $\Rightarrow$ cực tiểu.
Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm bậc ba có điểm cực đại $(-1;3)$ và điểm cực tiểu $(1;-1)$. a) Sai: điểm cực tiểu là $x=1$, không phải $x=-1$. b) Sai: trên $[-3;0]$, hàm đồng biến đến $x=-1$ rồi nghịch biến, nên GTLN là $f(-1)=3$, không phải $-1$. c) Sai: hàm bậc ba có 2 điểm cực trị (một cực đại, một cực tiểu), không phải 3. d) Đúng: hàm đồng biến trên $(-\infty ;-1)$, nghịch biến trên $(-1;1)$, đồng biến trên $(1;+\infty )$, nên nghịch biến trên $(-1;1)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cho thấy điểm cực tiểu của hàm số là $(1;-1)$, tức điểm cực tiểu tại $x=1$, không phải $x=-1$ (đây là điểm cực đại).
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-3;0]$, hàm đồng biến trên $[-3;-1]$ và nghịch biến trên $[-1;0]$, nên GTLN đạt tại $x=-1$ với giá trị $f(-1)=3$, không phải $-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số bậc ba có đạo hàm $f^{\prime }(x)$ là tam thức bậc hai có 2 nghiệm phân biệt $x=\pm 1$, nên hàm số chỉ có 2 điểm cực trị (một cực đại tại $x=-1$, một cực tiểu tại $x=1$), không phải 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)>0$ với $x<-1$, $f^{\prime }(x)<0$ với $-1<x<1$, $f^{\prime }(x)>0$ với $x>1$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=-1$ và tại $x=1$, nên hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm $x=-1$ và $x=1$ (tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là cực đại). Vậy số điểm cực tiểu là 2.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$, nghịch biến trên $(0;1)$, đồng biến trên $(1;+\infty )$; $f(0)=0$ (cực đại), $f(1)=-1$ (cực tiểu). a) Giá trị cực tiểu bằng $-1$ chứ không phải 1 → sai. b) Khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$ nên hàm không có giá trị lớn nhất → sai. c) $y^{\prime }$ đổi dấu + thành - tại $x=0$ và - thành + tại $x=1$, hàm liên tục nên đạt cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=1$ → đúng. d) Hàm có hai cực trị ($x=0$ và $x=1$) → sai.
a) Giá trị cực tiểu của hàm số là $f(1)=-1$, không phải 1.
b) Trên $(1;+\infty )$ hàm đồng biến và $y\to +\infty$ khi $x\to +\infty$, nên hàm không có giá trị lớn nhất (mặc dù có giá trị nhỏ nhất bằng $-1$).
c) $y^{\prime }$ đổi dấu từ + sang - khi qua $x=0$ nên hàm đạt cực đại tại $x=0$ với $f(0)=0$; $y^{\prime }$ đổi dấu từ - sang + khi qua $x=1$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=1$ với $f(1)=-1$.
d) Hàm số có hai điểm cực trị: $x=0$ (cực đại) và $x=1$ (cực tiểu).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có: $x^2+(m+1)x+m+1=(x+1)(x+m)+1$, nên với $x\ne -1$: $$y=x+m+\frac{1}{x+1}.$$ Hàm số xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ và $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$; cả hai giá trị đều khác $-1$ nên luôn là hai điểm cực trị (đổi dấu đạo hàm qua mỗi điểm) với mọi $m$. Vậy hàm số luôn có cực trị. Tọa độ hai điểm cực trị: tại $x=0$: $y(0)=m+1$; tại $x=-2$: $y(-2)=-2+m+\frac{1}{-1}=m-3$. Khoảng cách: $$d=\sqrt{(0-(-2){)}^2+((m+1)-(m-3){)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}.$$ Vậy với mọi $m$, hàm số luôn có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng $\sqrt{20}$. (đpcm)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=-1$ (điểm cực tiểu), từ $+$ sang $-$ tại $x=0$ (điểm cực đại), từ $-$ sang $+$ tại $x=1$ (điểm cực tiểu). Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực đại là $x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba, điểm cực tiểu (đáy thấp của đường cong) có hoành độ $x=-1$ và tung độ $y=-1$. Điểm cực đại là $(1;3)$. Vậy điểm cực tiểu là $(-1;-1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ chỉ cắt trục hoành tại đúng một điểm $x_0$, với $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<x_0$ và $f^{\prime }(x)<0$ khi $x>x_0$. Tại $x_0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm nên $f$ đạt cực đại tại $x_0$. Vậy hàm số $y=f(x)$ có đúng 1 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt/trục hoành tại các điểm $x=-1$, $x=0$, $x=2$. Quan sát dấu của $f^{\prime }$: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên $f$ có cực tiểu tại $x=-1$. Tại $x=0$, đồ thị $f^{\prime }$ tiếp xúc trục hoành (như parabol với đỉnh tại $O$), $f^{\prime }$ không đổi dấu (dương hai bên), nên không phải điểm cực trị. Tại $x=2$, đồ thị $f^{\prime }$ cũng chạm trục hoành rồi đi lên, $f^{\prime }$ không đổi dấu, nên không phải điểm cực trị. Vậy hàm số $f(x)$ có đúng 1 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ (hình ở đầu trang 9) cắt trục hoành tại ba điểm. Xét dấu $f^{\prime }$: hàm đi từ dưới lên cắt trục hoành lần thứ nhất (dấu đổi từ $-$ sang $+$) cho điểm cực tiểu; sau đó $f^{\prime }>0$, đồ thị đạt đỉnh rồi đi xuống cắt trục hoành lần thứ hai (dấu đổi từ $+$ sang $-$) cho một điểm cực đại; tiếp theo $f^{\prime }<0$, đạt đáy rồi đi lên cắt trục hoành lần thứ ba (dấu đổi từ $-$ sang $+$) cho điểm cực tiểu thứ hai. Vì $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, các điểm mà $f^{\prime }$ đổi dấu đều là điểm cực trị. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-2;2]$: hàm giảm trên $(-2;-1)$, đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=-1$ (điểm thấp nhất của đồ thị, $f(-1)=0$), rồi tăng trên $(-1;1)$, đạt cực đại tại $x=1$ ($f(1)=4$), sau đó giảm trên $(1;2)$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=1,3,5$; đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=3$ nên $f$ đạt cực đại tại $x=3$. Hàm $g(x)=f(x-1)-2021$ có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x-1)$, nên $g$ đạt cực đại khi $x-1=3$, tức $x=4$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại một điểm âm (đổi dấu từ âm sang dương) và tiếp xúc trục hoành tại $x=0$ (không đổi dấu). Do đó $f(x)$ có đúng 1 điểm cực trị. Với $g(x)=f(x+1)$ thì $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x+1)$, đồ thị chỉ dịch ngang nên số lần đổi dấu của $g^{\prime }$ cũng bằng 1. Vậy $g(x)$ có 1 cực trị trên $K$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $g(x)=f(x+2022)$, khi đó $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x+2022)$. Số cực trị của $g$ bằng số nghiệm của $f^{\prime }(x+2022)=0$ có đổi dấu, tức bằng số nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$ có đổi dấu. Từ đồ thị của $y=f^{\prime }(x)$ (đường cong bậc ba đi qua các điểm $x=-2$, $x=0$, $x=2$ và đổi dấu tại cả ba điểm: âm→dương tại $x=-2$, dương→âm tại $x=0$, âm→dương tại $x=2$), hàm $f$ có 3 điểm cực trị. Phép tịnh tiến ngang không làm thay đổi số cực trị, vậy $y=f(x+2022)$ có 3 cực trị. Chọn C.