Cho hàm số $y=\frac{x^2+(m+1)x+m+1}{x+1}$. Chứng minh rằng với mọi $m$ thì hàm số luôn có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng $\sqrt{20}$

a) Cho hàm số $y=f(x)=\frac{1}{4}{x}^4+a{x}^3+b{x}^2+cx$ có đồ thị $(C)$ của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ bên cạnh. Tìm số điểm cực trị của hàm số $g(x)=f\left(f^{\prime }(x)\right)$.

b) Một bể chứa có đáy là hình vuông kích thước $1m\times 1m$, miệng trên mở với hình vuông kích thước $3m\times 3m$, bốn mặt bên là các hình thang cân bằng nhau, chiều cao của bể nước là $2m$, như hình vẽ minh họa. Bắt đầu khi bể đang trống, một vòi nước chảy vào bể với tốc độ không đổi mất 35 phút để bơm đầy nước đến đường trung bình của các mặt bên hình thang. Hỏi vòi nước cần thêm bao nhiêu phút nữa để bơm đầy phần còn lại của bể chứa? Tính tốc độ dâng theo chiều cao của mực nước tại thời điểm t=36 (phút).

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$ như sau:



Số điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$ là

Giá trị cực đại của hàm số $f(x)=2x^3-9x^2-24x+1$ là

Cho hàm số $f(x)=x(x-1)(x-2)$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Cho hàm số $y=f(x)=x^3-8x^2+13x+5$.

Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau

Tìm số điểm cực trị của hàm số $g(x)=(f(x){)}^3-3(f(x){)}^2+2$.