Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, đường thẳng $d$ qua $M(1;1)$ và song song với đường thẳng $d^{\prime }:x+3y-1=0$ có phương trình $ax+3y+c=0$. Tính giá trị biểu thức $S=a+c$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A(2;3)$, $B(-1;5)$ và đường thẳng $d:2x+y+1=0$.
a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng $AB$.
b) Tính khoảng cách từ điểm $A(2;3)$ đến đường thẳng $d$.
c) Tìm tọa độ điểm $C$ thuộc đường thẳng $d$ và tọa độ điểm $D$ thuộc đoạn thẳng $AC$, biết rằng tam giác $ABC$ cân tại $B$ và $DC=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=-2+3t\end{array},(t\in \mathbb{R})$ có phương trình tổng quát là $ax+2y+b=0$. Hỏi $a-b$ bằng bao nhiêu?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta :x-y+2=0$ và điểm $A(0;2)$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Nhà ông An, Bình, Cường có ba khu vườn ở các vị trí có tọa độ lần lượt là $A(-12;8)$, $B(-10;-6)$; $C(6;2)$ (như hình vẽ). Cả ba nhà muốn khoan chung một cái giếng có đặt môto. Vì muốn lực đẩy nước đến ba nhà như nhau nên họ quyết định đặt môto ở vị trí $M$ cách đều ba khu vườn, rồi nối ống dẫn nước từ vị trí $M$ về đến từng vườn. Chi phí lắp đặt 1 $m$ ống dẫn nước là 30 nghìn đồng. Chi phí mỗi nhà phải trả để lắp đặt đường ống nước là bao nhiêu nghìn đồng?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, đường thẳng đi qua điểm $A(1;-3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(2;-1)$ có phương trình tổng quát dạng $ax-by+c=0$. Tính $a^2-b+2c$.

Nhà bạn Nam định đổi tủ lạnh và dự định kê vào vị trí dưới cầu thang. Biết vị trí định kê tủ lạnh có mặt cắt là một hình thang vuông với hai đáy lần lượt là $150cm$ và $250cm$, chiều cao là $150cm$ (như hình vẽ). Bố mẹ bạn Nam định mua một $250cm$ tủ lạnh 2 cánh (Side by side) có chiều cao là $183cm$ và bề ngang $90cm$. Bằng cách sử dụng tọa độ trong mặt phẳng, em hãy giúp Nam tính xem bố mẹ bạn Nam có thể kê vừa chiếc tủ lạnh vào vị trí cần kê không?