Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):(4-a)x-(a+3)y+z+1=0$ và mặt phẳng $(Q):3x-4y+z+3=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(4-a;-(a+3);1)$ và $\overrightarrow{n_Q}=(3;-4;1)$.

a) Song song khi $\frac{4-a}{3}=\frac{a+3}{4}=\frac{1}{1}$. Từ $4-a=3\Rightarrow a=1$; kiểm tra $\frac{a+3}{4}=1\Rightarrow a=1$ (thỏa). Vậy $a=1$ cho hai mặt phẳng song song (hằng số $1\ne 3$ nên không trùng). → Đúng.

b) Vuông góc khi $\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_Q}=0$: $3(4-a)-4(-(a+3))+1=12-3a+4a+12+1=a+25=0\Rightarrow a=-25$, không phải $a=2$. → Sai.

c) Để trùng nhau cần song song, tức $a=1$, nhưng khi đó hằng số là $1$ và $3$ khác nhau nên hai mặt phẳng không thể trùng nhau với mọi $a$. → Đúng.

d) $\overrightarrow{n_P}\times \overrightarrow{n_Q}=(1-a;a-1;7a-7)=(1-a)(1;-1;-7)$, nên với $a\ne 1$ vectơ $(1;-1;-7)$ vuông góc với cả hai pháp tuyến. Với $a=1$ hai mặt phẳng song song có pháp tuyến $(3;-4;1)$ và $(1;-1;-7)\cdot (3;-4;1)=3+4-7=0$, vẫn vuông góc. Vậy mặt phẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng trên có thể có pháp tuyến $\vec{n}=(1;-1;-7)$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Song song khi (4-a)/3=(a+3)/4=1, giải ra a=1 thỏa mãn cả hai tỉ lệ; hằng số 1≠3 nên song song thật.
b) (AI giải đề cho tôi)
n_P·n_Q = a+25 = 0 ⟹ a = -25, không phải a = 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trùng nhau đòi hỏi a=1 (điều kiện song song) nhưng hằng số 1 và 3 khác nhau nên không có giá trị a nào để hai mặt phẳng trùng nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
n_P×n_Q=(1-a)(1;-1;-7), và với a=1 thì (1;-1;-7)·(3;-4;1)=0, nên (1;-1;-7) luôn vuông góc với cả hai pháp tuyến.