Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+2z-1=0$ và mặt phẳng $(Q):4x-4y+3z-2=0$. Đường thẳng $\Delta$ song song với mặt phẳng $(P)$, có một vectơ chỉ phương $\vec{u}=(m;n;1)$. Khi $\Delta$ tạo với $(Q)$ một góc lớn nhất thì sin của góc tạo bởi đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(Q)$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;-2;3)$, $B(a;3;c)$, mặt phẳng $(P):x-3y+2z-5=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+3}{1}$. Khi đó, để đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm A, B đồng thời $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $d$, song song với mặt phẳng $(P)$ thì $a+c$ bằng bao nhiêu?

(1 điểm) Trong một công viên nước, người ta chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ thích hợp (mỗi đơn vị trên các trục tọa độ có độ dài 1 mét) để mô tả các vật thể trong không gian.

Một vòi phun nước được đặt tại điểm $M(-2;3;1)$, phun tia nước theo hướng có vecto chỉ phương $\vec{u}=(1;2;3)$. Biết rằng tia nước được xem như chuyển động theo một đường thẳng. Để phục vụ trình diễn, phía trước vòi phun có một màn nước dạng phẳng (được xem như một mặt phẳng) được mô tả bởi phương trình $(\alpha ):2x-3y+z+14=0$. Gọi $N$ là điểm tia nước chạm vào màn nước. Hãy tính khoảng cách từ điểm đặt vòi phun đến điểm tia nước chạm vào màn nước (kết quả tính được làm tròn đến hàng phần mười của mét).

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(4;-1;3)$, $B(a;b;1)$, mặt phẳng $(P):2x-y+3z-1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+3}{1}$. Khi đó, để đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm A, B đồng thời $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $d$, song song với mặt phẳng $(P)$ thì $a-b$ bằng bao nhiêu?

(1 điểm) Trong một công viên nước, người ta chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ thích hợp (mỗi đơn vị trên các trục tọa độ có độ dài 1 mét) để mô tả các vật thể trong không gian.

Một vòi phun nước được đặt tại điểm $A(-3;1;2)$, phun tia nước theo hướng có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1;3)$. Biết rằng tia nước được xem như chuyển động theo một đường thẳng. Để phục vụ trình diễn, phía trước vòi phun có một màn nước dạng phẳng (được xem như một mặt phẳng) được mô tả bởi phương trình $(\alpha ):x-2y+3z-19=0$. Gọi $P$ là điểm tia nước chạm vào màn nước. Hãy tính khoảng cách từ điểm đặt vòi phun đến điểm tia nước chạm vào màn nước (kết quả tính được làm tròn đến hàng phần mười của mét).

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a;b;c)$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A;B;C)$. Khi đó, $\sin (\Delta ,(P))$ bằng

Trong không gian cho điểm $O$ và đường thẳng (d). Có bao nhiêu mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $O$ và vuông góc với đường thẳng (d)?