Cho ba điểm $M(2;3;3)$, $N(2;-1;-1)$, $P(-2;-1;3)$ và mặt phẳng $(\alpha ):2x+3y-z+2=0$. Phương trình mặt cầu đi qua $M$, $N$, $P$ và có tâm thuộc mặt phẳng $(\alpha )$ có bán kính bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I(x;y;z)$ là tâm mặt cầu. Vì cầu đi qua $M,N,P$ nên $IM=IN=IP$. Từ $IM=IN$: $2\vec{I}\cdot (\vec{N}-\vec{M})=|N{|}^2-|M{|}^2=6-22=-16$ với $\vec{N}-\vec{M}=(0;-4;-4)$ suy ra $y+z=2$. Từ $IM=IP$: $2\vec{I}\cdot (\vec{P}-\vec{M})=14-22=-8$ với $\vec{P}-\vec{M}=(-4;-4;0)$ suy ra $x+y=1$. Vậy $I=(1-y;y;2-y)$. Tâm thuộc $(\alpha )$: $2(1-y)+3y-(2-y)+2=0\iff 2+2y=0\iff y=-1$. Suy ra $I=(2;-1;3)$ (thỏa mãn $(\alpha )$: $4-3-3+2=0$). Bán kính $R=IM=\sqrt{(2-2{)}^2+(-1-3{)}^2+(3-3{)}^2}=4$. Kiểm tra: $IN=\sqrt{0+0+16}=4$, $IP=\sqrt{16+0+0}=4$. Vậy bán kính mặt cầu bằng $4$.