Trong dự án STEAM, nhóm học sinh làm đề trình chiếu từ tấm nhựa PET trong suốt hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=a$ và $AD=a\sqrt{3}$. Học sinh tạo nếp gấp theo đường chéo $BD$, đặt $(BCD)$ sát mặt bàn phẳng và nâng đỉnh $A$ lên. Vị trí được chốt cố định khi sợi dây dọi thả từ đỉnh $A$ chạm mặt bàn tại đúng điểm $H$ (biết $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$ xuống $BD$ trên tấm nhựa phẳng ban đầu). Do treo tự do, phương sợi dọi $AH$ vuông góc với mặt bàn $(BCD)$. Gọi $E$ là chân đường vuông góc kẻ từ $H$ xuống $BC$. Một màng phim phẳng được dán đi qua ba điểm $A$, $B$, $C$ để hứng ánh sáng, và chỉ số chống lóa của thiết kế được đo bởi $k=\cos \widehat{AEH}$.
a) Hai đường thẳng $AH$ và $CD$ vuông góc với nhau.
b) Một chip Led gắn tại $M$ là trung điểm của nếp gấp $BD$. Khi đó $MA>MC$.
c) Mặt phẳng $(AHE)$ song song với mặt phẳng trung trực của $BC$.
d) Thiết kế đạt chuẩn khi $k>0,3$. Mô hình này đã đạt tiêu chuẩn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tấm phẳng ban đầu: $BD=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$; chân đường cao từ $A$ xuống $BD$ cho $BH=\frac{A{B}^2}{BD}=\frac{a}{2}$, $HD=\frac{A{D}^2}{BD}=\frac{3a}{2}$, $AH=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
a) Đúng: $AH\perp (BCD)$ nên $AH\perp CD$ với $CD\subset (BCD)$.
b) Sai: $M$ trung điểm $BD$ nên $HM=\frac{a}{2}$, suy ra $M{A}^2=A{H}^2+H{M}^2=\frac{3a^2}{4}+\frac{a^2}{4}=a^2\Rightarrow MA=a$. Tam giác $BCD$ vuông tại $C$ với $BD=2a$ nên trung tuyến $MC=\frac{BD}{2}=a$. Vậy $MA=MC$, không có $MA>MC$.
c) Đúng: $AH\perp (BCD)\Rightarrow AH\perp BC$; lại có $HE\perp BC$ nên $BC\perp (AHE)$. Mặt phẳng trung trực của $BC$ cũng vuông góc với $BC$, hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song, nên $(AHE)$ song song với mặt phẳng trung trực của $BC$.
d) Sai: Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $B(0,0),C(a\sqrt{3},0),A(0,a)$; $H$ là chân vuông góc từ $A$ lên $BD$ nên $H=\left(\frac{a\sqrt{3}}{4},\frac{a}{4}\right)$, do đó $E=\left(\frac{a\sqrt{3}}{4},0\right)$ và $HE=\frac{a}{4}$. Tam giác $AHE$ vuông tại $H$ nên $k=\cos \widehat{AEH}=\frac{HE}{AE}=\frac{a/4}{\sqrt{3a^2/4+a^2/16}}=\frac{1}{\sqrt{13}}\approx 0,277<0,3$, vậy mô hình chưa đạt tiêu chuẩn. Kết quả khớp đáp án chính thức (Mã đề 1102): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $AH\perp (BCD)$ nên $AH\perp CD$ với $CD\subset (BCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $HM=\frac{a}{2}$, $M{A}^2=\frac{3a^2}{4}+\frac{a^2}{4}=a^2\Rightarrow MA=a$; tam giác $BCD$ vuông tại $C$ nên trung tuyến $MC=\frac{BD}{2}=a$. Vậy $MA=MC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $BC\perp AH$ và $BC\perp HE\Rightarrow BC\perp (AHE)$; mặt phẳng trung trực của $BC$ cũng vuông góc $BC$, nên hai mặt phẳng song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $HE=\frac{a}{4}$, $AE=\frac{a\sqrt{13}}{4}$, $k=\frac{1}{\sqrt{13}}\approx 0,277<0,3$ nên chưa đạt chuẩn.