Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $x{\log }_3(x+1)={\log }_9\left[9(x+1{)}^{2m}\right]$ có hai nghiệm thực phân biệt.

Điều kiện $x>-1$. Vì $x=0$ không là nghiệm nên phương trình tương đương với $x{\log }_3(x+1)=1+m{\log }_3(x+1)\iff m=x-\frac{1}{{\log }_3(x+1)}=g(x)$ với $x\in (-1;0)\cup (0;+\infty )$. Ta có $g^{\prime }(x)=1+\frac{1}{(x+1)\ln 3\cdot {\log }_3^2(x+1)}>0,\forall x\in (-1;0)\cup (0;+\infty )$, và ${\lim }_{x\to -1^{+}}g(x)=-1,{\lim }_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty ,{\lim }_{x\to 0^{+}}g(x)=-\infty ,{\lim }_{x\to +\infty }g(x)=+\infty$. Vậy phương trình có $2$ nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $m>-1$, tức $m\in (-1;+\infty )$.