Đường thẳng $y=x-2$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+2}$ tại hai điểm phân biệt $M,N$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau.
Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ để phương trình $f\left(\sqrt{x-1}-1\right)+x+3-4\sqrt{x-1}=m$ có hai nghiệm phân biệt?

Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên sau:



Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $f(2\tan x)=2m+1$ có nghiệm thuộc khoảng $(0;\frac{\pi }{4})$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=x^3+2m{x}^2+3(m-1)x+2$ cắt đường thẳng $y=2-x$ tại ba điểm phân biệt $A(0;2);B_1;B_2$ sao cho gốc tọa độ $O$ và $B_1;B_2$ là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 2. Tính tổng các phần tử của $S$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $f^{\prime }(x)$ như hình vẽ bên. Tập hợp các giá trị của tham số $m$ để phương trình $f(m-2\sin x)=f(\cos 2x)$ có nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi )$ là:

Cho hàm số $f(x)=m{x}^4+n{x}^3+p{x}^2+qx+r;(m,n,p,q\in \mathbb{R})$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình $f(x)=r$ là: