Cho hàm số $f(x)=m{x}^4+n{x}^3+p{x}^2+qx+r;(m,n,p,q\in \mathbb{R})$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình $f(x)=r$ là:

Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại các điểm $-1,0,\frac{5}{2}$.
Ta có $f^{\prime }(x)=4mx(x+1)(x-5/2)=4m(x^3-\frac{3}{2}{x}^2-\frac{5}{2}x)$.
Nguyên hàm tìm được $f(x)-r=m(x^4-2x^3-5x^2)$.
Phương trình $f(x)=r\iff x^2(x^2-2x-5)=0$.
Các nghiệm gồm $x=0$ (nghiệm kép) và nghiệm của $x^2-2x-5=0$.
Tổng bình phương các nghiệm là $0^2+(x_1^2+x_2^2)=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=2^2-2(-5)=4+10=14$.