Xét các số phức $w,z$ thỏa mãn $|w+i|=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ và $5w=(2+i)(z-4)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|z-2i|+|z-6-2i|$.

Một đội khảo sát đang sử dụng hai phương tiện giám sát trên không:
- Flycam $A$ đang bay ở vị trí $A(1;-3;4)$.
- Flycam $B$ đang bay ở vị trí $B(-2;1;2)$.
Trên mặt đất bằng phẳng (mặt phẳng $(Oxy)$), có hai robot cảm biến mặt đất $M$ và $N$ di chuyển để thu tín hiệu từ hai thiết bị trên. Hai robot $M$ và $N$ luôn giữ khoảng cách $2$ mét với nhau để duy trì mạng lưới truyền thông nội bộ. Robot $M$ nhận dữ liệu từ Flycam $A$, còn robot $N$ nhận tín hiệu từ Flycam $B$. Tính tổng khoảng cách nhỏ nhất từ các robot đến thiết bị tương ứng (tức là $AM+BN$ nhỏ nhất), kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;4)$, $B(4;5;-2)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(1;-1;2)$, $\vec{v}=(2;-1;-3)$. Tính độ dài của vectơ $3\vec{u}+\vec{v}$.

Câu 11. Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (xem hình bên dưới). Phát biểu nào sau đây là đúng?

Câu 4. Trong không gian chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước, trong đó xem mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1 km, một ra đa được đặt tại vị trí gốc tọa độ $O$ phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;10)$ đến điểm $N(300;800;10)$ trong 40 phút.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, một vật được treo bằng ba sợi dây không dãn, mỗi sợi dây có một đầu lần lượt được gắn tại các điểm $A(-2;-1;0)$, $B(2;-1;0)$, $C(0;4;0)$, còn đầu kia được gắn với vật tại điểm $D(0;0;-4)$ như hình vẽ (trong đó mặt phẳng $(Oxy)$ song song với mặt đất, trục $Oz$ hướng thẳng lên trên). Biết rằng mỗi sợi dây được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 15 N. Để không dây nào bị đứt thì trọng lượng tối đa của vật bằng bao nhiêu Niutơn? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười).