Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, một vật được treo bằng ba sợi dây không dãn, mỗi sợi dây có một đầu lần lượt được gắn tại các điểm $A(-2;-1;0)$, $B(2;-1;0)$, $C(0;4;0)$, còn đầu kia được gắn với vật tại điểm $D(0;0;-4)$ như hình vẽ (trong đó mặt phẳng $(Oxy)$ song song với mặt đất, trục $Oz$ hướng thẳng lên trên). Biết rằng mỗi sợi dây được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 15 N. Để không dây nào bị đứt thì trọng lượng tối đa của vật bằng bao nhiêu Niutơn? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười).

Trong bản thiết kế của dự án lắp đặt đường dây điện cho vùng núi tỉnh A, các kĩ sư thiết kế các trụ điện cao $120\text{ m}$. Để giữ thăng bằng cho trụ điện, người ta kéo dây cáp nối từ đỉnh trụ $S$ xuống mặt đất tại các điểm $A,B,C$ sao cho $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều, khoảng cách từ chân trụ đến các điểm tiếp đất bằng $40\sqrt{3}\text{ m}$. Tuy nhiên trong thực tế, do sườn núi dốc $10^{\circ }$ so với mặt biển nên vị trí tiếp đất của dây cáp tại $A,B^{\prime },C^{\prime }$ (với $B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ song song thân trụ điện, tham khảo hình vẽ). Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $O$ trùng với chân trụ điện, mặt phẳng $(Oxy)$ song song với mặt biển, điểm $A$ thuộc tia $Oy$, trục $Oz$ hướng lên trên. Khi đó, tổng độ dài của ba dây cáp $SA,S{B}^{\prime },S{C}^{\prime }$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị mét.)

Có một khối gỗ dạng hình chóp $O.ABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau, $OA=3\text{ cm},OB=6\text{ cm},OC=12\text{ cm}$. Trên mặt phẳng $(ABC)$ người ta đánh dấu một điểm $M$, sau đó người ta cắt gọt khối gỗ để thu được một hình hộp chữ nhật có $OM$ là một đường chéo đồng thời hình hộp có 3 mặt nằm trên 3 mặt của tứ diện (xem hình vẽ).


Thể tích lớn nhất của khối gỗ hình hộp chữ nhật bằng

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $2,5\text{ km}$ về phía nam và $2\text{ km}$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,8\text{ km}$. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $1,5\text{ km}$ về phía bắc và $3\text{ km}$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,6\text{ km}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (coi như phẳng) có trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị đo mỗi trục là $\text{km}$). Trên mặt đất, người ta xác định được một vị trí sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó đến hai chiếc khinh khí cầu là nhỏ nhất. Hỏi khoảng cách từ điểm xuất phát đến vị trí đó bằng bao nhiêu $\text{km}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $OAFPE.CBGQH$ với $OAFE$ là hình chữ nhật và $EFP$ là tam giác cân tại $P$. Biết $OA=4\text{ m}$; $AB=6\text{ m}$; $HC=5\text{ m}$; độ dốc của mái nhà, tức là số đo góc nhị diện $[Q,FG,H]$ bằng $45^{\circ }$. Người ta mô hình hóa nhà kho bằng cách chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ là điểm $O$ và các trục tọa độ tương ứng như hình vẽ dưới đây (đơn vị trên mỗi trục là $1\text{ m}$). Khi đó:

Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất bay đến vị trí điểm $A$ cách mặt đất $5\text{ m}$, cách điểm xuất phát $3\text{ m}$ về phía nam và $2\text{ m}$ về phía đông. Chiếc flycam thứ hai bay đến điểm $B$ cách mặt đất $5\text{ m}$, cách điểm xuất phát $6\text{ m}$ về phía bắc và $6\text{ m}$ về phía tây. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (coi như phẳng) có trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị đo mỗi trục là mét). Trên mặt đất, người ta xác định được một vị trí sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó đến hai chiếc flycam ngắn nhất. Hỏi khoảng cách từ điểm xuất phát đến vị trí đó bằng bao nhiêu mét?

Trong hệ trục toạ độ $(Oxy)$, cho đồ thị hàm số $(C):y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$; $x>-1$ mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển, một trạm phát sóng đặt tại điểm $I(-1;-1)$. Biết hoành độ điểm $M$ thuộc đồ thị $(C)$ mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là $x_0=\frac{1}{\sqrt[n]{a}}-b$ (Loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính $a\cdot n+b$?