Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $4{\cos }^{3}x-\cos 2x+(m-3)\cos x=1$ có đúng 8 nghiệm phân biệt trong đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right]$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\cos x$. Vì $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$, phương trình trở thành $$4t^3-2t^2+1+(m-3)t=1⟺t\left(4t^2-2t+m-3\right)=0.$$ Xét trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right]$ (độ dài $\frac{5\pi }{2}$):
• Phương trình $\cos x=0$ có đúng 3 nghiệm: $x=-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$.
• Với $t\in (0;1)$: $\cos x=t$ có 3 nghiệm $x=\pm \arccos t$ và $x=2\pi -\arccos t$ (vì $-\arccos t\ge -\frac{\pi }{2}$ khi $t\ge 0$).
• Với $t\in (-1;0)$: $-\arccos t<-\frac{\pi }{2}$ nên chỉ có 2 nghiệm $x=\arccos t$ và $x=2\pi -\arccos t$.
• Với $t=1$: 2 nghiệm ($x=0,2\pi$); với $t=-1$: 1 nghiệm ($x=\pi$).
Cần tổng số nghiệm bằng 8, tức phương trình bậc hai $4t^2-2t+m-3=0$ phải cho thêm đúng 5 nghiệm, tức một nghiệm thuộc $(0;1)$ (đóng góp 3 nghiệm) và nghiệm kia thuộc $(-1;0)$ (đóng góp 2 nghiệm). (Trường hợp có nghiệm $t=1$ thì nghiệm còn lại $t=-\frac{1}{2}$ chỉ cho thêm 2 nghiệm, tổng $3+2+2=7$ — loại; nghiệm $t=0$ hoặc $t=-1$ cũng không đủ.)
Đặt $f(t)=4t^2-2t+m-3$. Hai nghiệm nằm khác phía qua $0$ và có một nghiệm trong $(0;1)$ khi:
$$f(0)=m-3<0⟺m<3,f(1)=m-1>0⟺m>1.$$
Khi đó nghiệm âm $t_2\in \left(-\frac{1}{2};0\right)\subset (-1;0)$ (vì tổng hai nghiệm bằng $\frac{1}{2}$), nên điều kiện $t_2>-1$ tự thỏa ($f(-1)=m+3>0$). Biệt thức $\Delta =52-16m>0$ thỏa với $m<3$.
Kiểm tra: với $1<m<3$, ví dụ $m=2$: phương trình $t(4t^2-2t-1)=0$ có $t=0$ (3 nghiệm), $t=\frac{1+\sqrt{5}}{4}\in (0;1)$ (3 nghiệm), $t=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\in (-1;0)$ (2 nghiệm) — tổng đúng 8 nghiệm phân biệt.
Vậy $m\in (1;3)$.