Cho tam giác $ABC$ không vuông, thỏa mãn điều kiện: $\tan A,\tan B,\tan C$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của góc $B$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B+C=\pi$ nên $\tan (A+C)=-\tan B$, tức $\frac{\tan A+\tan C}{1-\tan A\tan C}=-\tan B$. Theo giả thiết cấp số cộng: $\tan A+\tan C=2\tan B$. Suy ra $2\tan B=-\tan B(1-\tan A\tan C)$. Vì tam giác không vuông nên các tan xác định; nếu $\tan B=0$ thì $B=\pi$ vô lý, do đó $\tan B\ne 0$ và ta được $\tan A\tan C=3>0$. Vậy $A,C$ cùng dấu tan; không thể cùng dương vô hạn (cùng tù), nên $A,C$ nhọn và $\tan A,\tan C>0$. Với $\tan B=t>0$ (B nhọn): $\tan A+\tan C=2t$, $\tan A\tan C=3$, điều kiện có nghiệm là $4t^2\ge 12\iff t\ge \sqrt{3}\iff B\ge 60^{\circ }$. Dấu bằng xảy ra khi $\tan A=\tan C=\sqrt{3}$, tức $A=C=60^{\circ }$, tam giác đều (không vuông, thỏa mãn). Trường hợp $B$ tù thì $B>90^{\circ }>60^{\circ }$. Vậy giá trị nhỏ nhất của góc $B$ là $60^{\circ }$.