Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng $a$. Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc $60^{\circ }$. Diện tích của thiết diện này bằng

Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có cạnh bên (đường sinh) $l=a$, cạnh đáy là đường kính $2R=a\sqrt{2}⟹R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, đường cao hình nón là $SO=R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Xét thiết diện qua đỉnh $S$ là tam giác cân $SCD$. Gọi $H$ là trung điểm của $CD$, khi đó $SH\perp CD$ và $OH\perp CD$, do đó góc giữa thiết diện và mặt phẳng đáy là $\widehat{SHO}=60^{\circ }$.
Trong tam giác vuông $SOH$:
$SH=\frac{SO}{\sin 60^{\circ }}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
$OH=\frac{SO}{\tan 60^{\circ }}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.
Trong đường tròn đáy: $CD=2CH=2\sqrt{R^2-O{H}^2}=2\sqrt{\frac{a^2}{2}-\frac{6a^2}{36}}=2\sqrt{\frac{a^2}{3}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Diện tích thiết diện là $S_{\Delta SCD}=\frac{1}{2}SH\cdot CD=\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{2a\sqrt{3}}{3}=\frac{a^2\sqrt{2}}{3}$. Chọn B.