Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ theo $a$.

Vì $SA\perp (ABCD)$ nên góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}=45^{\circ }$. Tam giác $SAC$ vuông cân tại $A⟹SA=AC=a\sqrt{2}$.
Kẻ đường thẳng qua $B$ song song với $AC$, gọi là $d$. Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $d$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AC\perp BD⟹d\perp BD$, do đó $AM=d(A,d)=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Mặt khác $SA\perp d$ và $AM\perp d⟹d\perp (SAM)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SM$, suy ra $AH\perp (SBM)⟹d(AC,SB)=d(A,(SBM))=AH$.
Trong tam giác vuông $SAM$ có đường cao $AH$:
$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{M}^2}+\frac{1}{S{A}^2}=\frac{1}{\frac{a^2}{2}}+\frac{1}{2a^2}=\frac{2}{a^2}+\frac{1}{2a^2}=\frac{5}{2a^2}⟹AH=\frac{a\sqrt{10}}{5}$.
Vậy khoảng cách cần tìm là $\frac{a\sqrt{10}}{5}$. Chọn A.