Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số $Q^{\prime }(t)=4t^3-72t^2+288t$, trong đó $t$ tính bằng giờ $(0\le t\le 13)$, $Q^{\prime }(t)$ tính bằng khách/giờ (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Sau 2 giờ đã có 500 người có mặt.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $Q(t)=t^4-24t^3+144t^2+C$. Vì $Q(2)=16-192+576+C=400+C=500$ nên $C=100$, tức $Q(t)=t^4-24t^3+144t^2+100$.

a) Sai, vì thiếu hằng số $C=100$ (hàm đúng phải là $Q(t)=t^4-24t^3+144t^2+100$).

b) $Q(5)=625-3000+3600+100=1325$ người. Đúng.

c) $Q^{\prime }(t)=4t(t-6)(t-12)$; $Q$ tăng trên $(0;6)$, giảm trên $(6;12)$, tăng trên $(12;13)$. So sánh: $Q(6)=1296+100=1396$; $Q(13)=28561-52728+24336+100=269$. Vậy lượng khách lớn nhất là $1396$ người, không phải $1296$. Sai.

d) Xét $Q^{\prime }(t)=4t^3-72t^2+288t$ trên $[0;13]$. $Q^{\prime \prime }(t)=12t^2-144t+288=0\Rightarrow t=6\pm 2\sqrt{3}$; điểm cực đại địa phương của $Q^{\prime }$ là $t=6-2\sqrt{3}\approx 2,54$ với $Q^{\prime }\approx 192\sqrt{3}\approx 332,6$. Nhưng $Q^{\prime }(13)=8788-12168+3744=364>332,6$, và $Q^{\prime }(6)=0$. Vậy $Q^{\prime }$ lớn nhất tại $t=13$, không phải $t=6$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $Q^{\prime }(t)$ là $t^4-24t^3+144t^2+C$; từ $Q(2)=500$ suy ra $C=100$, nên hàm đúng là $Q(t)=t^4-24t^3+144t^2+100$, thiếu hằng số 100.
b) (AI giải đề cho tôi)
$Q(5)=625-3000+3600+100=1325$ người.
c) (AI giải đề cho tôi)
$Q^{\prime }(t)=4t(t-6)(t-12)$; $Q$ tăng trên $(0;6)$, giảm trên $(6;12)$, tăng trên $(12;13)$. $Q(6)=1396$, $Q(13)=269$, nên max là $1396$ người chứ không phải $1296$ (1296 chỉ là $Q(6)-100$ do bỏ qua hằng số).
d) (AI giải đề cho tôi)
Cực đại địa phương của $Q^{\prime }$ tại $t=6-2\sqrt{3}$ với giá trị $192\sqrt{3}\approx 332,6$, nhưng $Q^{\prime }(13)=364$ lớn hơn; hơn nữa $Q^{\prime }(6)=0$. Vậy $Q^{\prime }$ lớn nhất tại $t=13$, không phải $t=6$.