Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=10x-8$, $f(0)=1$.

Từ $f^{\prime }(x)=10x-8$ và $f(0)=1$ suy ra $f(x)=5x^2-8x+1$. a) Đúng. b) Sai vì ${\int }_0^2{f}^{\prime }(x)dx=f(2)-f(0)=4$. c) Đúng vì ${\int }_{-2}^1(10x^2-16x+1)dx=57$. d) Sai vì ${\int }_{-1}^1[f^{\prime }(x)-2xf(x)]dx=-\frac{16}{3}$. (Khớp bảng đáp án mã đề 102, Phần II câu 3: Đ S Đ S.)
a) Nguyên hàm của $f^{\prime }(x)=10x-8$ là $f(x)=5x^2-8x+C$. Vì $f(0)=1$ nên $C=1$, suy ra $f(x)=5x^2-8x+1$. Đúng.
b) ${\int }_0^2{f}^{\prime }(x)dx=f(2)-f(0)=(5\cdot 4-16+1)-1=5-1=4\ne 5$. Sai.
c) Với $f(x)=5x^2-8x+1$ ta có $2f(x)-1=10x^2-16x+1$. Khi đó ${\int }_{-2}^1(10x^2-16x+1)dx={\left[\frac{10x^3}{3}-8x^2+x\right]}_{-2}^1=\left(\frac{10}{3}-8+1\right)-\left(-\frac{80}{3}-32-2\right)=-\frac{14}{3}+\frac{185}{3}=57$. Đúng.
d) Với $f(x)=5x^2-8x+1$ ta có $f^{\prime }(x)-2xf(x)=10x-8-2x(5x^2-8x+1)=-10x^3+16x^2+8x-8$. Trên $[-1;1]$, các hạng tử lẻ $-10x^3$ và $8x$ có tích phân bằng $0$, nên ${\int }_{-1}^1\left[f^{\prime }(x)-2xf(x)\right]dx=2{\int }_0^1(16x^2-8)dx=2\left(\frac{16}{3}-8\right)=-\frac{16}{3}\ne \frac{16}{3}$. Sai.