Hai đứa trẻ đang chơi với một quả bóng. Bé gái ném quả bóng cho bé trai. Quả bóng di chuyển trong không khí, uốn cong $3m$ về bên phải và rơi cách bé gái $5m$ (xem hình sau).



Biết mặt phẳng chứa quỹ đạo của quả bóng vuông góc với mặt đất và phương trình tổng quát của nó có dạng $4x+by+c=0$. Tính $b+c$?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục như hình vẽ: bé gái ở gốc $O(0;0;0)$, mặt đất là mặt phẳng $Oxy$, trục $Oy$ hướng về phía bé trai, trục $Ox$ hướng sang phải.

Quả bóng rơi tại điểm $B$ cách bé gái $5m$ (khoảng cách ngang), trong đó lệch về bên phải $3m$ theo hình vẽ (hình chiếu vuông góc từ $B$ lên trục $Oy$ tại điểm $C$ có độ dài $3m$). Theo định lý Pythagoras, khoảng cách dọc theo hướng ném là $OC=\sqrt{5^2-3^2}=4m$. Vậy $B(3;4;0)$.

Mặt phẳng chứa quỹ đạo vuông góc với mặt đất nên không chứa $z$, có dạng $4x+by+c=0$. Quỹ đạo xuất phát từ vị trí bé gái nên mặt phẳng đi qua $O(0;0;0)$, suy ra $c=0$. Mặt phẳng còn đi qua $B(3;4;0)$:
$$4\cdot 3+b\cdot 4+0=0\Rightarrow 12+4b=0\Rightarrow b=-3.$$

Vậy $b+c=-3+0=-3$, khớp với đáp án $-3$.