Cho điểm $A(1;-3;1)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x-2y+2z-5=0$, khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(\alpha )$ có dạng $\frac{a}{b}$ tối giản; $a;b\in \mathbb{Z}$. Tính $T=2a+b$?

Một bức tường được tọa độ hóa trong không gian $Oxyz$ với đơn vị là mét bởi mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ và điểm $M(1;-3;4)$ là tọa độ của một quả táo.

Mái nhà tranh của ông $F$ được đặt vào trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ với đơn vị là mét với mặt phẳng $(R)$: $z+1=0$ là mặt đất. Một bức tường là mặt phẳng $(P)$: $x+y-2\sqrt{2}=0$ và mái nhà lợp là của ông là mặt phẳng $(Q)$: $x-z+\sqrt{2}=0$. Ông $F$ muốn đặt một bóng đèn tròn để chiếu sáng ban đêm, sau khi cố định bóng đèn tại vị trí $A=(1;-1;1)$, ông nối dây điện thẳng dài từ bóng đèn đến vị trí một khoen móc đặt tại $C$ trên mái nhà $(Q)$ rồi luồn dây điện thẳng đến ổ cắm tại vị trí $B$ nằm trên bức tường $(P)$. Sau khi hoàn thành và đo đạc thì ông $F$ thấy tam giác $ABC$ là tam giác đều. Tính chiều cao mét của khoen móc $C$ so với mặt đất. (Làm tròn đến hàng phần chục)

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;0;1)$, $B(5;2;3)$ và mặt phẳng $(P):2x-y+z-4=0$.

Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam $3m$, cách bạn nữ $5m$. Cho biết quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt đất. Khi đó phương trình của $(P)$ trong không gian $Oxyz$ được mô tả trong hình vẽ có dạng $4x+by+cz+d=0$. Tính $T=b+c+d$

Trong không gian $Oxyz$ , phương trình mặt phẳng đi qua $A(1;-1;2)$ và có véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(4;2;-6)$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;0;1)$, $B(5;2;3)$ và mặt phẳng $(P):2x-y+z-4=0$.