Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=x+e^x$, $\forall x\in \mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x+e^x$. a) Sai: ${\int }_1^2{f}^{\prime }(x)dx=\left(e^x+\frac{x^2}{2}\right){|}_1^2=(e^2+2)-(e+\frac{1}{2})=e^2-e+\frac{3}{2}$, không phải $e^2+e+\frac{5}{2}$. b) Sai: hai đường $y=x+e^x$ và $y=x+1$ cắt nhau khi $e^x=1\iff x=0$; diện tích giới hạn bởi hai đường và $x=2$ là ${\int }_0^2(e^x-1)dx=(e^x-x){|}_0^2=e^2-2-1=e^2-3\ne \frac{57}{13}$. c) Đúng: $f(x)=e^x+\frac{x^2}{2}+C$, $f(0)=1+C=4\Rightarrow C=3$; ${\int }_0^{1}f(x)dx=(e-1)+\frac{1}{6}+3=e+\frac{13}{6}=\frac{6e+13}{6}$. d) Sai: nguyên hàm là $f(x)=e^x+\frac{x^2}{2}+C$ chứ không phải $e^x+x^2+C$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đúng là $e^2-e+\frac{3}{2}$, vì $(e^2+2)-(e+\frac{1}{2})=e^2-e+\frac{3}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường cắt tại $x=0$; diện tích $={\int }_0^2(e^x-1)dx=e^2-3\ne \frac{57}{13}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(0)=4$ thì $C=3$, ${\int }_0^{1}f(x)dx=e+\frac{13}{6}=\frac{6e+13}{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $f(x)=e^x+\frac{x^2}{2}+C$.