Một công trình viện bảo tàng có dạng hình chóp đều $S.ABCD$, biết cạnh đáy bằng 180m, khoảng cách từ đỉnh đến cạnh đáy bằng 133m.





a) Tính số đo góc nhị diện tạo bởi hai mặt bên có chung bờ là một cạnh bên của hình chóp.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SA$ và $BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm đáy, $I$ là trung điểm $CD$. Hình chóp đều nên $SO\perp (ABCD)$, $SI\perp CD$, $OI=\frac{180}{2}=90$ m, $SI=133$ m.

Chiều cao: $SO=\sqrt{S{I}^2-O{I}^2}=\sqrt{133^2-90^2}=\sqrt{17689-8100}=\sqrt{9589}\approx 97,92$ m.

**a) Góc nhị diện $[SA;(SAB),(SAD)]$:**

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ (vì $SA=SB$). Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $B$ xuống $SA$; do hai mặt bên bằng nhau, chân đường vuông góc hạ từ $D$ xuống $SA$ trong $(SAD)$ cũng trùng $H$. Suy ra góc nhị diện cần tìm là $\widehat{BHD}$.

Diện tích tam giác $SAB$: $\frac{1}{2}\cdot AB\cdot SI=\frac{1}{2}\cdot 180\cdot 133=11970$ m².

$SA=\sqrt{S{O}^2+O{A}^2}=\sqrt{9589+(90\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{9589+16200}=\sqrt{25789}\approx 160,59$ m.

$BH=\frac{2\cdot [SAB]}{SA}=\frac{23940}{\sqrt{25789}}\approx 149,08$ m, nên $B{H}^2=\frac{23940^2}{25789}\approx 22223,6$.

Trong tam giác $BHD$ ($HB\perp SA$, $HD\perp SA$, $HB=HD$, $BD=180\sqrt{2}$):
$$\cos \widehat{BHD}=\frac{B{H}^2+H{D}^2-B{D}^2}{2\cdot BH\cdot HD}=1-\frac{B{D}^2}{2B{H}^2}=1-\frac{64800}{44447,2}\approx -0,458.$$
Vậy góc nhị diện $\approx 117,2^{\circ }$ (khoảng $117^{\circ }$).

**b) Khoảng cách giữa $SA$ và $BC$:**

Vì $BC\parallel AD\subset (SAD)$ nên $d(SA,BC)=d(BC,(SAD))=d(B,(SAD))$.

Dùng thể tích: $V_{S.ABD}=\frac{1}{3}SO\cdot [ABD]=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{9589}\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot 180\cdot 180\right)=5400\sqrt{9589}$.

$[SAD]=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot SI=\frac{1}{2}\cdot 180\cdot 133=11970$.

$$d(B,(SAD))=\frac{3V_{S.ABD}}{[SAD]}=\frac{16200\sqrt{9589}}{11970}=\frac{180\sqrt{9589}}{133}\approx \frac{180\cdot 97,92}{133}\approx 132,5\text{ m}.$$

(Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A(-90;-90;0)$, $B(90;-90;0)$, $D(-90;90;0)$, $S(0;0;h)$ với $h=\sqrt{9589}$; mặt phẳng $(SAD)$: $hx-90z+90h=0$, khi đó $d(B,(SAD))=\frac{180h}{\sqrt{h^2+8100}}=\frac{180\sqrt{9589}}{133}$ — cùng kết quả.)

Vậy $d(SA,BC)=\frac{180\sqrt{9589}}{133}\approx 132,5$ m.