Một chiếc cổng có hình dạng là một parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là $8m$. Người ta treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh $M$, $N$ nằm trên Parabol và hai đỉnh $P$, $Q$ nằm trên mặt đất như hình vẽ bên. Ở phần phía ngoài phông người ta mua hoa để trang trí với chi phí 200.000 đồng/$m^2$, biết $MN=4m$, $MQ=6m$. Tính số tiền (đơn vị: triệu đồng) để mua hoa trang trí. (Làm tròn đến hàng phần mười).

Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một khu sinh thái. Trên mô hình minh họa dưới đây, mặt hồ là phần hình phẳng (tô đậm) được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị hàm số $y=x^3+\frac{9}{4}{x}^2+\frac{15}{16}x+\frac{71}{64}$ (đơn vị đo độ dài trên mỗi trục là 1 km).

Một công ty dự định làm các kỉ niệm chương có dạng hình vuông cạnh 20 $cm$, chính giữa bên trong là một hình phẳng được tô đậm như hình vẽ, bên trong hình phẳng này sẽ in tên và thành tích của những nhân viên xuất sắc trong năm. Biết rằng bốn cạnh của hình phẳng là bốn cung parabol có độ dài bằng nhau. Những điểm nằm trên cung $\widehat{AB}$ (cung parabol phía trên) có khoảng cách tới tâm hình vuông bằng khoảng cách tới cạnh $MN$; đồng thời hai điểm $A$, $B$ nằm trên các đường chéo của hình vuông. Tính diện tích phần hình phẳng đó (phần tô đậm) (đơn vị: $c{m}^2$, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=e^x$, $y=0$, $x=0$, $x=2$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Bạn Dũng làm một chiếc diều từ 4 thanh tre gồm hai thanh thẳng cùng dài 80 cm, hai thanh còn lại được uốn cong thành hai đường parabol $(P_1)$ và $(P_2)$. Bạn Dũng cố định 4 thanh tre trên tại 5 vị trí $A$, $B$, $C$, $M$, $O$ sao cho $OABC$ là một hình vuông, sau đó dán giấy màu để tạo thành chiếc diều (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính diện tích phần giấy màu bạn Dũng cần dùng để tạo thành chiếc diều (đơn vị cm${}^2$) biết rằng điểm $M$ cách đều hai đoạn thẳng $AB$ và $BC$ một khoảng bằng 50 cm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $x=a$, $x=b$, $y=f(x)$ và trục hoành là

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^3-3x$, $y=0$, $x=0$, $x=2$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?