Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có $5$ chữ số. Xác suất để chọn được số tự nhiên có dạng $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5}$ trong đó $a_1\le a_2+1\le a_3-7<a_4\le a_5+2$ bằng $a$. Giá trị của $\frac{1}{a}$ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một hộp có 5 quả cầu vàng, 7 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả cầu.
Tính xác suất để 4 quả cầu lấy được có đủ 3 màu khác nhau.
165 35 35 225

Câu 2. Một tổ có $10$ học sinh với tên gọi khác nhau gồm $5$ bạn nam và $5$ bạn nữ. Giáo viên chọn và xếp ngẫu nhiên $9$ học sinh trong tổ đó vào $9$ ô vuông của lưới để chơi trò chơi dân gian. Biết rằng mỗi ô vuông chỉ xếp đúng $1$ học sinh và trong tổ đó có một học sinh tên là An.

Câu 3. Một lớp học có tổng số $36$ học sinh, trong đó số học sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam. Lớp học được chia thành hai nhóm, nhóm 1 gồm các học sinh nữ và nhóm 2 gồm các học sinh nam để khảo sát về kĩ năng bơi của học sinh. Biết mỗi học sinh chỉ tích chọn một trong hai hình thức: biết bơi hoặc chưa biết bơi và nhóm nào cũng có cả hai hình thức. Lấy ngẫu nhiên mỗi nhóm một học sinh, xác suất lấy được hai học sinh biết bơi là $\frac{140}{299}$. Biết số học sinh nam biết bơi là số lẻ, tính số học sinh nữ biết bơi?

Câu 3. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất $2$ lần. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện của $2$ lần gieo bằng $7$ là:

Câu 6. Một hình chữ nhật kích thước $8\text{ cm}\times 10\text{ cm}$ được chia thành các hình vuông đơn vị cạnh $1\text{ cm}$ bởi các đường thẳng song song với các cạnh của hình chữ nhật (hình vẽ). Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật từ lưới hình vuông. Gọi $a,b$ là các kích thước của hình chữ nhật được chọn. Biết xác suất để $ab<a+b$ là $\frac{m}{n}$ ($m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và phân số $\frac{m}{n}$ tối giản), tính giá trị của biểu thức $m+n$.

Câu 1. Trong một cuộc thi đấu Robotics, sân đấu được thiết kế dạng lưới ô vuông như hình vẽ. Các robot xuất phát từ vị trí điểm $A$, di chuyển ngẫu nhiên theo cạnh của các ô vuông theo hướng xuống dưới hoặc sang phải đến vị trí điểm $B$. Tính xác suất robot đi từ $A$ đến $B$ mà không đi qua cả $M$ và $N$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).