Hình bát diện đều có bao nhiêu cạnh?

Cho tứ diện $SABC$ có $SA=SB=SC=5$. Một mặt phẳng $(\alpha )$ thay đổi luôn đi qua trọng tâm $G$ của tứ diện và cắt các cạnh $SA,SB,SC$ lần lượt tại $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$. Tính giá trị của biểu thức $T=\frac{1}{S{A}^{\prime }}+\frac{1}{S{B}^{\prime }}+\frac{1}{S{C}^{\prime }}$.

Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $O$ là điểm thuộc miền trong tam giác $ABC$ (tham khảo hình minh họa). Trong các đường sau, đường thẳng nào không nằm trong mặt phẳng $(ABC)$?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tứ giác lồi, $O=AC\cap BD$. Mặt phẳng $(\alpha )$ cắt các cạnh $SA,SB,SC$ lần lượt tại $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$. Biết $(\alpha )$ cắt cạnh $SD$. Gọi $D^{\prime }=(\alpha )\cap SD$. Khi đó:

Cho bốn điểm $A,B,C,D$ không đồng phẳng. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Trên đoạn $BD$ lấy điểm $P$ sao cho $BP=2PD$. Giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(MNP)$ là:

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,B^{\prime }{C}^{\prime },D{D}^{\prime }$ (tham khảo hình minh họa). Diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng $(MNP)$ là:

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $R$ và chiều cao bằng $\frac{3R}{2}$. Mặt phẳng $(\alpha )$ song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng $\frac{R}{2}$. Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng $(\alpha )$ là: