Gọi $S$ là tập hợp các số thực $m$ sao cho với mỗi $m\in S$ có đúng một số phức $z$ thỏa mãn $|z-m|=4$ và $\frac{z}{z-6}$ là số thuần ảo. Tính tổng các phần tử của tập $S$.

Chọn D.

Điều kiện $z\ne 6$. Đặt $z=x+yi$.
- $|z-m|=4\iff (x-m{)}^2+y^2=16$ là đường tròn $(C)$ tâm $I(m;0)$, bán kính $R=4$.
- $\frac{z}{z-6}$ thuần ảo khi phần thực bằng 0: $(x-3{)}^2+y^2=9$ là đường tròn $(C^{\prime })$ tâm $I^{\prime }(3;0)$, bán kính $R^{\prime }=3$.
Để có đúng một số phức $z$ thì $(C)$ và $(C^{\prime })$ tiếp xúc nhau:
- Tiếp xúc trong: $I{I}^{\prime }=|R-R^{\prime }|=1\iff |m-3|=1\iff m=2$ hoặc $m=4$.
- Tiếp xúc ngoài: $I{I}^{\prime }=R+R^{\prime }=7\iff |m-3|=7\iff m=10$ hoặc $m=-4$.
Tổng các phần tử của $S$: $2+4+10+(-4)=12$.