Gọi $(H)$ là miền giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)=\frac{\ln (x+1)-x+2x^2}{x^2}$, trục hoành và các đường thẳng $x=1$, $x=2025$. Chọn ngẫu nhiên một điểm $M(x_0;y_0),x_0\in \mathbb{N},y_0\in \mathbb{N}$ thuộc miền $(H)$. Tính xác suất để điểm $M(x_0;y_0)$ được chọn thỏa mãn $x_0>2025y_0$.

Bộ bài tú - lơ khơ có 52 quân bài. Rút ngẫu nhiên ra 4 quân bài. Tính xác suất của các biến cố a) $A$: “Rút ra được tứ quý K ” b) $B$: “4 quân bài rút ra có ít nhất một con Át” c) $C$: “4 quân bài lấy ra có ít nhất hai quân bích”

Có 7 tấm bìa ghi 7 chữ “HỌC”, “TẬP”, “VÌ”, “NGÀY”, “MAI”, “LẬP”, “NGHIỆP”. Một người xếp ngẫu nhiên 7 tấm bìa cạnh nhau. Tính xác suất để khi xếp các tấm bìa được dòng chữ “HỌC TẬP VÌ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP”.

Gieo đồng thời 2 con súc sắc cân đối đồng chất, một con màu đỏ và một con màu xanh. Tính xác suất của các biến cố sau: a). Biến cố A "Con đỏ xuất hiện mặt 6 chấm". b). Biến cố B "Con xanh xuất hiện mặt 6 chấm". c). Biến cố C "Ít nhất một con suất hiện mặt 6 chấm". d). Biến cố D "Không có con nào xuất hiện mặt 6 chấm" . e). Biến cố E "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con bằng 8". f). Biến cố F " Số chấm suất hiện trên hai con súc sắc hơn kém nhau 2".

1. Ba học sinh An, Lan và Hoa, mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn $[3;12]$. Tính xác suất để ba số được viết đôi một khác nhau và tích của ba số đó là một số chính phương.
2. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn $$4P(x)P(2x)+{\left(P(2x)\right)}^2=2P(x)\cdot P(4x),\forall x\in \mathbb{R}.$$
3. Lớp 11A có 40 học sinh tham gia ngoại khóa tại một khu vui chơi có 4 trò chơi khác nhau. Biết mọi học sinh đều tham gia và mỗi học sinh chỉ được đăng ký tham gia một trò chơi, mỗi trò chơi có ít nhất một người chơi và không trò chơi nào có quá 15 học sinh đăng ký. Hỏi lớp 11A có bao nhiêu cách đăng ký trò chơi?

Một con Robot di chuyển trên một đường thẳng, nó được lập trình di chuyển tự động như sau: Ở vị trí xuất phát, khi có hiệu lệnh, Robot sẽ bước 8 bước, mỗi bước nó sẽ ngẫu nhiên tiến về phía trước 1 m hoặc lùi về phía sau 1 m với xác suất như nhau. Sau đó Robot dừng lại.
Gọi A là biến cố: "Khi Robot dừng lại nó cách vị trí xuất phát xa hơn 4 m". Xác suất của biến cố A bằng $\frac{a}{b}$ $(a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast })$, biết $\frac{a}{b}$ là một phân số tối giản. Tính $a+b$.

Một lớp học có 20 học sinh nam và 25 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng. Xác suất để 4 học sinh được gọi có cả học sinh nam và học sinh nữ là